1大分大学 2024年 数学 第1問解答・解説

数列の条件から $a_{n+1}=2a_n$ である。したがって各項は前の項の $2$ 倍であり、初項が $2$ なので、
$$a_n=2\cdot 2^{n-1}=2^n.$$
よって
$$S_n=\sum_{k=1}^{n}2^k=2^{n+1}-2$$
である。

(1) よって、一般項は $a_n=2^n$ である。

(2) $S_n+2=2^{n+1}$ だから、与式は
$$(S_n+2)^2=2^{10},\qquad 2^{2n+2}=2^{10}$$
となる。底が $2$ である指数を比較して $2n+2=10$、したがって $n=4$ である。実際、$S_4=30$ であり、$30^2+4\cdot30+4=1024=2^{10}$ となる。

(3) 左辺を等比数列の和で計算すると
$$\sum_{k=1}^{n}S_k=\sum_{k=1}^{n}(2^{k+1}-2)=2^{n+2}-4-2n.$$
一方、右辺は
$$2S_n-10=2(2^{n+1}-2)-10=2^{n+2}-14$$
である。両辺を等しくして共通項 $2^{n+2}$ を消去すると $-4-2n=-14$、よって $n=5$ である。実際、$S_1+S_2+S_3+S_4+S_5=2+6+14+30+62=114$ であり、$2S_5-10=2\cdot62-10=114$ となる。