4山形大学 2025年 数学 第4問解答・解説

次の問に答えよ。

(1) 数列 $\{a_{n}\}$ が

$$a _ {1} = \frac {1}{4}, \quad a _ {n + 1} = - a _ {n} + \frac {1}{8} n + \frac {1}{4} \quad (n=1,\,2,\,3,\cdots)$$

で定められているとき、次の (i), (ii), (iii) に答えよ。

(i) $a_{2}$ を求めよ。

(ii) $b_{n}=a_{n+1}-a_{n}$ で定められる数列 $\{b_{n}\}$ の一般項を求めよ。

(iii) 数列 $\{a_{n}\}$ の一般項を求めよ。

(2) 数列 $\{c_{n}\}$ が

$$c _ {1} = 2 ^ {\frac {1}{4}}, \quad c _ {n + 1} = \frac {2 ^ {\frac {1}{8} n + \frac {1}{4}}}{c _ {n}} \qquad (n=1,\,2,\,3,\cdots)$$

で定められているとき、次の (i), (ii) に答えよ。

(i) 数列 $\{c_{n}\}$ の一般項を求めよ。

(ii) m を自然数とするとき、$\displaystyle \sum_{k=1}^{2m}(-1)^{k}c_{k}$ を求めよ。