2岐阜大学 2025年 数学 第2問解答・解説

数列 $\{a_{n}\}$ を $a_{1}=4$、$a_{n+1}=2^{n+1}\cdot\sqrt{a_{n}}$ $(n=1,\,2,\,3,\,\cdots)$ とし、数列 $\{b_{n}\}$ を $b_{n}=\log_{2}a_{n}$ $(n=1,\,2,\,3,\,\cdots)$ と定める。以下の問に答えよ。

(1) $a_{2}$、$b_{1}$、$b_{2}$ を求めよ。

(2) $b_{n+1}$ を $b_{n}$ と $n$ を用いて表せ。

(3) $c_{n}=b_{n+1}-b_{n}$ とする。$c_{n}$ を $n$ を用いて表せ。

(4) 数列 $\{b_{n}\}$ の一般項 $b_{n}$ を求めよ。

(5) 数列 $\{a_{n}\}$ の初項から第 $n$ 項までの積を $P_{n}=a_{1}a_{2}\cdots a_{n}$ とおく。$\log_{2}P_{n}$ を求めよ。