II日本医科大学 2026年 数学 第II問解答・解説

日本医科大学 2026年度 数学（前期）II

問1 平面 $\pi$

$$\overrightarrow{AB}=(2,-1,-2),\qquad \overrightarrow{AC}=(-2,0,1).$$
これらに垂直なベクトルとして $(1,-2,2)$ をとれる（内積はいずれも0）。よって平面は
$$x-2y+2z+d=0$$
とおける。点 $A(1,2,4)$ を代入すると $1-4+8+d=0$ より $d=-5$。したがって
$$\boxed{\pi:\ x-2y+2z-5=0}.$$

問2 点 $E$

法線ベクトルを $\vec{n}=(1,-2,2)$ とすると $|\vec{n}|^2=9$。平面左辺を $\phi(x,y,z)=x-2y+2z-5$ とおくと、$\phi(D)=-9$ だから、点 $D$ から平面に下ろした垂線の足 $F$ は
$$F=D-\frac{\phi(D)}{|\vec{n}|^2}\vec{n} =(2,4,1)+(1,-2,2)=(3,2,3).$$
対称な点では $F$ が $DE$ の中点なので
$$E=2F-D=(6,4,6)-(2,4,1)=\boxed{(4,0,5)}.$$

問3 円 $K$ の中心と半径

$\triangle BCD$ の重心は
$$G=\left(\frac{3-1+2}{3},\frac{1+2+4}{3},\frac{2+5+1}{3}\right) =\left(\frac43,\frac73,\frac83\right).$$
球面 $S$ の半径は
$$EG^2=\left(-\frac83\right)^2+\left(\frac73\right)^2+ \left(-\frac73\right)^2=18, \qquad EG=3\sqrt2.$$
球の中心 $E$ と平面 $\pi$ の距離は
$$\frac{|\phi(E)|}{|\vec{n}|}=\frac9{3}=3.$$
したがって交円の中心は $E$ から $\pi$ への垂線の足
$$E-\frac{\phi(E)}9\vec{n}=E-\vec{n}=(3,2,3)$$
であり、半径を $\rho$ とすると直角三角形より
$$\rho^2=(3\sqrt2)^2-3^2=9,\qquad \rho=3.$$
よって、$\boxed{K\text{ の中心 }(3,2,3),\ \text{半径 }3}$。

問4 $(d_P)^2$ の最小値

$G$ から平面 $\pi$ への垂線の足を $G_0$ とする。$\phi(G)=-3$ なので
$$G_0=G-\frac{\phi(G)}9\vec{n} =G+\frac13\vec{n} =\left(\frac53,\frac53,\frac{10}3\right), \qquad GG_0=1.$$
また $K$ の中心を $F=(3,2,3)$ とすると、
$$FG_0^2=\left(-\frac43\right)^2+ \left(-\frac13\right)^2+\left(\frac13\right)^2=2, \qquad FG_0=\sqrt2<3.$$
いずれも $\pi$ 上にあり、$G_0$ は円の中心から距離 $\sqrt2$ の円内の点である。したがって円周上で $G_0$ に最も近い点までの距離は $3-\sqrt2$。さらに $GG_0\perp\pi$ だから円 $K$ 上の任意の点 $P$ について
$$GP^2=GG_0^2+G_0P^2$$
となる。よって
$$\min_{P\text{ は }K\text{ 上}}(d_P)^2 =1+(3-\sqrt2)^2 =\boxed{12-6\sqrt2}.$$