4東京慈恵会医科大学 2026年 数学 第4問解答・解説

座標で平面と線分を表し、x+y一定の台形断面の面積を用いて一変数の定積分で体積を求める。

$P=(p,0,0)$ を通る平面の方程式は $x+(p-1)y+pz=p$ である。この式は $P,D,E$ を満たし、3点は一直線上にない。直線 $BC$ 上では $x=0,\ y+z=2$ だから、交点は $Q=(0,p,2-p)$。
線分 $PQ$ 上の点を $P+\lambda(Q-P)$（$0\leqq\lambda\leqq1$）とすると、$(x,y,z)=(p(1-\lambda),p\lambda,(2-p)\lambda)$。従って $s=x+y=p$ とおけば、$0\leqq s\leqq2$, $0\leqq y\leqq s$ であり、$s>0$ のとき上面 $S$ は $z=\frac{(2-s)y}{s}$ となる。条件 $x\leqq2y$ は $s-y\leqq2y$、すなわち $s/3\leqq y\leqq s$ である。
平面 $x+y=s$ による断面は台形で、平行な辺の長さは上面での高さ $(2-s)/3$ と $2-s$、辺間の距離は $\sqrt2(2s/3)$ である。よって断面積は $A(s)=\frac12\left(\frac{2-s}{3}+2-s\right)\frac{2\sqrt2s}{3}=\frac{4\sqrt2s(2-s)}9$。隣り合う断面の距離は $ds/\sqrt2$ だから、$V=\int_0^2\frac{A(s)}{\sqrt2}\,ds=\frac49\int_0^2s(2-s)\,ds=\frac49\left[s^2-\frac{s^3}{3}\right]_0^2=\frac{16}{27}$。