3旭川医科大学 2026年 数学 第3問解答・解説

解答
問1
$\vec a=\overrightarrow{OA},\ \vec b=\overrightarrow{OB}$ とおくと、
$$32=|2\vec a-\vec b|^2=4|\vec a|^2+|\vec b|^2-4\vec a\cdot\vec b =4\cdot9+4-4\vec a\cdot\vec b$$
より $\vec a\cdot\vec b=2$。

問2
$\theta=\angle AOB$ とすると、$\cos\theta=2/(3\cdot2)=1/3$ だから $\sin\theta=2\sqrt2/3$。
$(s,t)$ 平面で $s,t\geqq0,\ s+t\geqq1,\ s+2t\leqq2$ を満たす領域は、頂点 $(1,0),(2,0),(0,1)$ の三角形で、面積は $1/2$。$\mathrm{P}=s\vec a+t\vec b$ によって頂点 $(1,0),(2,0),(0,1)$ は $\vec a,\ 2\vec a,\ \vec b$ に移るので、P の範囲は点 $\vec a,\ 2\vec a,\ \vec b$ を頂点とする三角形である。その面積は、線分 OA 上の 2 点 $\vec a$、$2\vec a$ を結ぶ線分を底辺とみると、底辺の長さは $|\vec a|=3$、高さは点 B から直線 OA までの距離 $|\vec b|\sin\theta=\dfrac{4\sqrt2}{3}$ なので、
$$S=\dfrac{1}{2}\cdot3\cdot\dfrac{4\sqrt2}{3}=2\sqrt2.$$

問3(1)
$O,A,A'$ はこの順に一直線上、$O,B,B'$ もこの順に一直線上にある。四点が同一円周上にあれば、点 $O$ の方べきより
$$OA\cdot OA'=OB\cdot OB',\qquad 3\cdot3u=2\cdot2v,$$
したがって $v=9u/4$。逆にこの等式が成り立つとする。$A,A',B$ は一直線上にないので、それらを通る円を考える。この円と直線 $OB$ との交点は $B$ ともう一つの点 $B^*$ であり、方べきから
$$OB\cdot OB^*=OA\cdot OA'=9u.$$
一方 $v=9u/4$ なら $OB'=2v=9u/2=9u/OB$ なので $OB'=OB^*$。また $B'$ は $B$ と同じ半直線上にあり、よって $B'=B^*$。したがって四点 $A,A',B',B$ は同一円周上にある。ゆえに
$$\boxed{v=\frac{9u}{4}}.$$

問3(2)
$u,v>1$ なので三角形 $OAB$ は三角形 $OA'B'$ に含まれる。実際、$OAB$ 内の点 $s\vec a+t\vec b$（$s,t\geqq0,\ s+t\leqq1$）は、$OA'B'$ の係数 $s/u,t/v$ の和が $s/u+t/v\leqq s+t\leqq1$ だから後者にも属する。三角形 $OA'B'$ の面積は $uv$ 倍なので、
$$T=(uv-1)[OAB]=(uv-1)2\sqrt2.$$
$S:T=1:8$ と $S=2\sqrt2$ から $T=16\sqrt2$、ゆえに $uv=9$。問3(1)と合わせると $9u^2/4=9$。$u>1$ より $u=2$、$v=9/2$。
$$\boxed{(u,v)=\left(2,\frac92\right)}.$$