6弘前大学 2026年 数学 第6問解答・解説

(1) から直線 $\mathrm{OD}$ は平面 $\mathrm{ABC}$ に垂直である。点 $\mathrm{D}$ は直線 $\mathrm{OD}$ 上にあるので、直線 $\mathrm{OD}$ と平面 $\mathrm{ABC}$ の交点を $\mathrm{H}$ とすれば、$\mathrm{DH}$ が四面体の高さになる。

(1)

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=(3,\,4,\,6)$、$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(-4,\,3,\,0)$、$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=(-4,\,0,\,2)$ である。
$$\overrightarrow{\mathrm{OD}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}}=-12+12+0=0,\qquad \overrightarrow{\mathrm{OD}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}=-12+0+12=0$$
だから、$\overrightarrow{\mathrm{OD}}\perp\overrightarrow{\mathrm{AB}}$、$\overrightarrow{\mathrm{OD}}\perp\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ である。

(2)

$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|^{2}=25$、$|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|^{2}=20$、$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}=16$ だから
$$\triangle\mathrm{ABC}=\dfrac{1}{2}\sqrt{|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|^{2}|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|^{2}-(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}})^{2}}=\dfrac{1}{2}\sqrt{500-256}=\dfrac{1}{2}\sqrt{244}=\sqrt{61}.$$

(3)

(1) より、直線 $\mathrm{OD}$ は平面 $\mathrm{ABC}$ に垂直である。直線 $\mathrm{OD}$ と平面 $\mathrm{ABC}$ の交点を $\mathrm{H}$ とする。

$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=k\overrightarrow{\mathrm{OD}}=(3k,\,4k,\,6k)$ とおく。$\mathrm{H}$ は平面 $\mathrm{ABC}$ 上にあるから、実数 $s,\,t$ を用いて
$$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+s\overrightarrow{\mathrm{AB}}+t\overrightarrow{\mathrm{AC}}=(4-4s-4t,\,3s,\,2t)$$
と表せる。成分を比べると $3s=4k$、$2t=6k$、$4-4s-4t=3k$ である。$s=\dfrac{4k}{3}$、$t=3k$ を代入すると
$$4-\dfrac{16k}{3}-12k=3k\quad\text{より}\quad k=\dfrac{12}{61}.$$
$\mathrm{D}$ は直線 $\mathrm{OD}$ 上にあるから、四面体 $\mathrm{ABCD}$ の高さは
$$\mathrm{DH}=(1-k)|\overrightarrow{\mathrm{OD}}|=\dfrac{49}{61}\sqrt{61}=\dfrac{49}{\sqrt{61}}.$$
よって、体積は
$$\dfrac{1}{3}\cdot\sqrt{61}\cdot\dfrac{49}{\sqrt{61}}=\dfrac{49}{3}.$$