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神戸大学／2023年度／前期

4神戸大学 2023年 数学 第4問解答・解説

ベクトル図形と計量

1問題

神戸大学2023年度第4問
四面体 OABCOABC があり、辺 OA,OB,OCOA,OB,OC の長さはそれぞれ 13,5,5\sqrt{13},5,5 である。OA→⋅OB→=OA→⋅OC→=1\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OC}=1、OB→⋅OC→=−11\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OC}=-11 とする。頂点 OO から △ABC\triangle ABC を含む平面に下ろした垂線とその平面の交点を HH とする。以下の問に答えよ。（配点30点）

(1)　線分 ABAB の長さを求めよ。

(2)　実数 s,ts,t を OH→=OA→+sAB→+tAC→\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+s\overrightarrow{AB}+t\overrightarrow{AC} をみたすように定めるとき、ss と tt の値を求めよ。

(3)　四面体 OABCOABC の体積を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • (1)
    AB=6\mathrm{AB}=6。
  • (2)
    s=t=13s=t=\dfrac{1}{3}。
  • (3)
    四面体OABC\mathrm{OABC}の体積は656\sqrt{5}。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

解答

(1) 差ベクトルの長さより
AB2=∣OB→−OA→∣2=∣OB→∣2+∣OA→∣2−2OA→⋅OB→=25+13−2=36. AB^2=|\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}|^2 =|\overrightarrow{OB}|^2+|\overrightarrow{OA}|^2 -2\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB} =25+13-2=36.
したがって AB=6AB=6。

(2) u=AB→u=\overrightarrow{AB}, v=AC→v=\overrightarrow{AC} とおく。与条件から
u⋅u=v⋅v=36,u⋅v=−11−1−1+13=0, u\cdot u=v\cdot v=36,\qquad u\cdot v=-11-1-1+13=0,
OA→⋅u=1−13=−12,OA→⋅v=1−13=−12. \overrightarrow{OA}\cdot u=1-13=-12,\qquad \overrightarrow{OA}\cdot v=1-13=-12.
OH⊥u,vOH\perp u,v であり
OH→=OA→+su+tv\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+su+tv なので、
0=OH→⋅u=−12+36s,0=OH→⋅v=−12+36t. 0=\overrightarrow{OH}\cdot u=-12+36s,\qquad 0=\overrightarrow{OH}\cdot v=-12+36t.
よって s=t=13s=t=\frac13。

(3) したがって
OH→=OA→+OB→+OC→3. \overrightarrow{OH} =\frac{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}}{3}.
また OH→⊥u,v\overrightarrow{OH}\perp u,v より
OH2=OH→⋅OH→=OH→⋅OA→=13+1+13=5. OH^2=\overrightarrow{OH}\cdot\overrightarrow{OH} =\overrightarrow{OH}\cdot\overrightarrow{OA} =\frac{13+1+1}{3}=5.
従って高さは OH=5OH=\sqrt5。さらに u⊥vu\perp v かつ AB=AC=6AB=AC=6 だから
[ABC]=12⋅6⋅6=18. [ABC]=\frac12\cdot6\cdot6=18.
ゆえに
VOABC=13[ABC]⋅OH=13⋅185=65. V_{OABC}=\frac13[ABC]\cdot OH =\frac13\cdot18\sqrt5=6\sqrt5.

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

  • 内積による長さ・直交性
  • 垂直条件から係数決定
  • 四面体の体積

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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