3琉球大学 2025年 数学 第3問解答・解説

四面体 $\mathrm{OABC}$ の辺の長さを $\mathrm{OA}=3$、$\mathrm{OB}=\sqrt{5}$、$\mathrm{OC}=\sqrt{6}$、$\mathrm{AB}=2\sqrt{2}$ とする。$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\vec{a}$、$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\vec{b}$、$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\vec{c}$ として、$\vec{a}\cdot\vec{c}=3$、$\vec{b}\cdot\vec{c}=3$ とする。次の問いに答えよ。（50 点）

問 1　$\vec{a}$ と $\vec{b}$ の内積 $\vec{a}\cdot\vec{b}$ を求めよ。

問 2　点 $\mathrm{O}$ から平面 $\mathrm{ABC}$ に垂線を下ろしその交点を $\mathrm{H}$ とする。このとき、$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$ を $\vec{a},\,\vec{b},\,\vec{c}$ を用いて表せ。

問 3　点 $\mathrm{A}$ から平面 $\mathrm{OBC}$ に垂線を下ろしその交点を $\mathrm{K}$ とする。このとき、直線 $\mathrm{OH}$ と直線 $\mathrm{AK}$ は交わることを示せ。また、その交点を $\mathrm{M}$ とするとき、$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$ を $\vec{a},\,\vec{b},\,\vec{c}$ を用いて表せ。