4福島県立医科大学 2026年 数学 第4問解答・解説

(1) $y=\dfrac{e^x}{(1+x)^2}$ とおくと
$$y'=\frac{e^x(x-1)}{(1+x)^3}.$$
したがって $0\leqq x<1$ で減少し、$x>1$ で増加する。よって最小値は $x=1$ のときの $\dfrac e4$ である。

(2) (1)より、すべての $x\geqq0$ について
$$\frac{e^x}{(1+x)^2}\geqq\frac e4, \qquad \frac{e^{-x}}4\leqq\frac{1}{e(1+x)^2}$$
が成り立つ。また
$$f'(x)=-\frac{1}{(1+x)^2}+\frac14e^{-x}(\cos x-\sin x).$$
$\cos x\leqq1$、$\sin x\geqq-1$ より $\cos x-\sin x\leqq2$ だから、$e>2$ を用いると
$$f'(x)\leqq-\frac{1}{(1+x)^2}+\frac12e^{-x} \leqq-\frac{1-2/e}{(1+x)^2}<0.$$
したがって $f$ は $x\geqq0$ で単調に減少し、$f(0)=1$、$\lim_{x\to\infty}f(x)=0$ である。連続性とこの極限から、$f$ の値域は $0<y\leqq1$ となる。よって逆関数は存在し、その定義域は $0<x\leqq1$ である。

(3) $b=2n\pi$ とおくと、$f(b)=\dfrac1{1+b}$、$f(0)=1$ である。置換 $u=f(x)$ と部分積分により
$$\begin{aligned} \int_{1/(1+b)}^1 f^{-1}(u)\,du &=\int_b^0 x f'(x)\,dx\\ &=[xf(x)]_b^0-\int_b^0 f(x)\,dx\\ &=\int_0^b f(x)\,dx-bf(b). \end{aligned}$$$${\int }_{1/(1+b)}^1{f}^{-1}(u)du={\int }_b^{0}x{f}^{\prime }(x)dx$$$$=[xf(x){]}_b^0-{\int }_b^{0}f(x)dx$$$$={\int }_0^{b}f(x)dx-bf(b).$$
ここで $b=2n\pi$ なので
$$\int_0^b e^{-x}\sin x\,dx =\left[-\frac12e^{-x}(\sin x+\cos x)\right]_0^b =\frac{1-e^{-b}}2.$$
したがって
$$\int_0^b f(x)\,dx=\log(1+b)+\frac18(1-e^{-b}), \qquad bf(b)=\frac{b}{1+b}.$$
以上より、求める値は
$$\log(1+2n\pi)-\frac{2n\pi}{1+2n\pi}+\frac{1-e^{-2n\pi}}8$$
である。