3東京科学大学 2025年 数学 第3問解答・解説

(1)

$C_{1}$ 上の接点を $(t,\,a^{t})$ とする。この点での接線の傾きは $a^{t}\log a$ である。接線が原点を通るためには、接線の切片が 0、すなわち $a^{t}-ta^{t}\log a=0$ でなければならない。$a^{t}>0$ より $t=\dfrac{1}{\log a}$ である。したがって
$$k=a^{1/\log a}\log a=e\log a,\qquad a=e^{k/e}$$
であり、接点は $\left(\dfrac{1}{\log a},\,e\right)$ である。

(2)

$C_{2}$ 上の接点を $(t,\,\log_{a}t)$ とすると、接線の傾きは $\dfrac{1}{t\log a}$ である。接線が原点を通る条件は
$$\log_{a}t=t\cdot\dfrac{1}{t\log a}=\dfrac{1}{\log a}.$$
よって $\log t=1$、すなわち $t=e$ であり、接点は $\left(e,\,\dfrac{1}{\log a}\right)$ である。

(3)

$Q=(u,\,\log_{a}u)$ を直線 $y=x$ に関して反転した点を $R=(\log_{a}u,\,u)$ とすると、点 $R$ は曲線 $C_{1}$ 上にあり、$|\mathrm{OR}|=|\mathrm{OQ}|$ である。$P$、$R$ の偏角をそれぞれ $\theta_{P}$、$\theta_{R}$ とすると、$Q$ の偏角は $\dfrac{\pi}{2}-\theta_{R}$ である。したがって正三角形となるには
$$\theta_{P}-\left(\dfrac{\pi}{2}-\theta_{R}\right)=\pm\dfrac{\pi}{3},\quad\text{すなわち}\quad\theta_{P}+\theta_{R}=\dfrac{\pi}{6}\ \text{または}\ \dfrac{5\pi}{6}$$
でなければならない。
$P=(x,\,a^{x})$、$R=(y,\,a^{y})$ が異なる点で $|\mathrm{OP}|=|\mathrm{OR}|$ を満たす場合を考える。$x,\,y\leqq0$ なら両偏角は $\dfrac{\pi}{2}$ 以上なので和は $\pi$ より大きい。$x,\,y\geqq0$ では $t^{2}+a^{2t}$ が $t\geqq0$ で増加するため、異なる点で同じ長さにはならない。残る場合を $x<0<y$ とすると、
$$x^{2}+a^{2x}=y^{2}+a^{2y}$$
より $-x>y$ である。また
$$\dfrac{a^{y}/y}{a^{x}/(-x)}=a^{y-x}\dfrac{-x}{y}>1$$
なので、$\theta_{R}>\pi-\theta_{P}$、したがって $\theta_{P}+\theta_{R}>\pi$ となる。以上より、必要な角度条件を満たすには $P=R$ でなければならない。
このとき $P=(x,\,a^{x})$、$Q=(a^{x},\,x)$ である。$x<0$ では偏角 $\theta_{P}>\dfrac{\pi}{2}$ となり角度差は $60^{\circ}$ にならない。さらに $x=0$ なら $P=(0,\,1)$、$Q=(1,\,0)$ であり、$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=0$ だから $\angle\mathrm{POQ}=90^{\circ}$ となり、正三角形ではない。したがって $x>0$ である。$P$ の偏角を $\theta$ とすると、反転した $Q$ との角度差は $\left|2\theta-\dfrac{\pi}{2}\right|$ である。これが $\dfrac{\pi}{3}$ となる条件は $\theta=\dfrac{\pi}{12}$ または $\dfrac{5\pi}{12}$、すなわち
$$\dfrac{a^{x}}{x}=\tan15^{\circ}=2-\sqrt{3}\quad\text{または}\quad\dfrac{a^{x}}{x}=\tan75^{\circ}=2+\sqrt{3}.$$
$f(x)=\dfrac{a^{x}}{x}\ (x>0)$ とおくと、
$$f'(x)=\dfrac{a^{x}(x\log a-1)}{x^{2}}.$$
よって $f$ は $x=\dfrac{1}{\log a}$ で最小値 $e\log a$ をとり、$x\to0+$ および $x\to\infty$ で $f(x)\to\infty$ となる。したがって $c>0$ に対し、$c>e\log a$ なら方程式 $f(x)=c$ の解は 2 個、$c=e\log a$ なら 1 個、$c<e\log a$ なら 0 個である。二つの値 $2-\sqrt{3}<2+\sqrt{3}$ をこの条件と比較すれば、次の表のようになる。
$$\begin{array}{c|ccccc} a&1<a<A_{-}&a=A_{-}&A_{-}<a<A_{+}&a=A_{+}&a>A_{+}\\\hline \text{組数}&4&3&2&1&0 \end{array}$$
ただし $A_{-}=e^{(2-\sqrt{3})/e}$、$A_{+}=e^{(2+\sqrt{3})/e}$ である。
各 $x$ は $P$ を定め、反転点 $Q$ は一意に定まるので、この解の個数が求める順序付き組 $(P,\,Q)$ の個数である。