1京都府立医科大学 2026年 数学 第1問解答・解説

接点を $x=t$ と置いて値と導関数を一致させ、共通接線を得て二つの面積を定積分で計算する。最後は差の符号を e の上界で判定する。

(1)

共有点を $\mathrm{P}=(t,\sqrt{t})$ とおく。ここで $t>0$ である。共有点の条件と接線の傾きが等しいことから
$$e^{at}=\sqrt{t},\qquad ae^{at}=\dfrac{1}{2\sqrt{t}}.$$
したがって $a\sqrt{t}=\dfrac{1}{2\sqrt{t}}$ より $a=\dfrac{1}{2t}$ である。また $e^{at}=\sqrt{t}$ の両辺の自然対数をとると $at=\dfrac{\log t}{2}$ であるから、$a=\dfrac{1}{2t}$ を代入して $\log t=1$、すなわち $t=e$ となる。よって
$$a=\dfrac{1}{2e},\qquad \mathrm{P}=(e,\sqrt{e}).$$
接線 $l$ の傾きは $\dfrac{1}{2\sqrt{e}}$ であり、その方程式は
$$y=\sqrt{e}+\dfrac{x-e}{2\sqrt{e}}=\dfrac{\sqrt{e}}{2}+\dfrac{x}{2\sqrt{e}}$$
である。

(2)

$0\leqq x\leqq e$ では $C_{1}$ がこの接線より上にある。実際、両者の差は $x=e$ で 0 となり、その導関数
$$\dfrac{1}{2e}e^{\dfrac{x}{2e}}-\dfrac{1}{2\sqrt{e}}$$
は $0\leqq x<e$ で負である。また $0\leqq x\leqq e$ では、接線と $C_{2}$ の差は
$$\dfrac{x+e}{2\sqrt{e}}-\sqrt{x}=\dfrac{(\sqrt{x}-\sqrt{e})^{2}}{2\sqrt{e}}\geqq 0$$
である。これは $x=0$ も含み、等号は $x=e$ のときに限る。したがって
$$\begin{aligned} S_{1}&=\int_{0}^{e}\left(e^{\dfrac{x}{2e}}-\dfrac{\sqrt{e}}{2}-\dfrac{x}{2\sqrt{e}}\right)dx\\ &=2e(\sqrt{e}-1)-\dfrac{e\sqrt{e}}{2}-\dfrac{e^{\dfrac{3}{2}}}{4} =e\left(\dfrac{5\sqrt{e}}{4}-2\right),\\ S_{2}&=\int_{0}^{e}\left(\dfrac{\sqrt{e}}{2}+\dfrac{x}{2\sqrt{e}}-\sqrt{x}\right)dx\\ &=\dfrac{3e^{\dfrac{3}{2}}}{4}-\dfrac{2e^{\dfrac{3}{2}}}{3} =\dfrac{e^{\dfrac{3}{2}}}{12}. \end{aligned}$$$$S_1={\int }_0^e\left(e^{\frac{x}{2e}}-\frac{\sqrt{e}}{2}-\frac{x}{2\sqrt{e}}\right)dx$$$$=2e(\sqrt{e}-1)-\frac{e\sqrt{e}}{2}-\frac{e^{\frac{3}{2}}}{4}=e\left(\frac{5\sqrt{e}}{4}-2\right),$$$$S_2={\int }_0^e\left(\frac{\sqrt{e}}{2}+\frac{x}{2\sqrt{e}}-\sqrt{x}\right)dx$$$$=\frac{3e^{\frac{3}{2}}}{4}-\frac{2e^{\frac{3}{2}}}{3}=\frac{e^{\frac{3}{2}}}{12}.$$

(3)

大小を比較すると
$$S_{1}-S_{2}=e\left(\dfrac{7\sqrt{e}}{6}-2\right).$$
$e<2.8=\dfrac{14}{5}<\dfrac{144}{49}=\left(\dfrac{12}{7}\right)^{2}$ より $\sqrt{e}<\dfrac{12}{7}$ なので、$\dfrac{7\sqrt{e}}{6}<2$ となり、$S_{1}-S_{2}<0$ である。よって $S_{1}<S_{2}$ である。