5弘前大学 2026年 数学 第5問解答・解説

以下、問題の $\log x$ は自然対数を表すものとする。定義域は $x>0$ である。

(1)
$$f(x)=\log x(\log x-2)=0$$
より、$\log x=0$ または $\log x=2$ だから
$$\boxed{x=1,\ e^2}.$$

(2)
$$\begin{aligned} f'(x)&=2\log x\cdot\frac1x-\frac2x =\frac{2(\log x-1)}{x},\\ f''(x)&=2\frac{d}{dx}\bigl((\log x-1)x^{-1}\bigr) =2\left(\frac1{x^2}-\frac{\log x-1}{x^2}\right) =\frac{2(2-\log x)}{x^2}. \end{aligned}$$$$f^{\prime }(x)=2\log x\cdot \frac{1}{x}-\frac{2}{x}=\frac{2(\log x-1)}{x},$$$$f^{\prime \prime }(x)=2\frac{d}{dx}((\log x-1)x^{-1})=2\left(\frac{1}{x^2}-\frac{\log x-1}{x^2}\right)=\frac{2(2-\log x)}{x^2}.$$

(3) $x>0$ であるから、$f'(x)$ の符号は $\log x-1$ の符号と同じである。よって $0<x<e$ で減少し、$x=e$ で極小となり、$x>e$ で増加する。また
$$f(e)=1^2-2=-1$$
なので、$x=e$ での極小値は $-1$ であり、これは最小値でもある。

端での極限は、$t=\log x$ とおけば
$$f(x)=t^2-2t=(t-1)^2-1$$
であることから
$$\lim_{x\to0+}f(x)=+\infty,\qquad \lim_{x\to\infty}f(x)=+\infty.$$
従って $x=0$ は右側からの垂直漸近線である。

さらに $x^2>0$ より、$f''(x)$ の符号は $2-\log x$ の符号と同じである。したがって
$$\begin{array}{c|ccc} x&0<x<e^2&x=e^2&x>e^2\\ \hline f''(x)&+&0&-\\ \text{グラフの形}&\text{下に凸}&\text{変曲点}&\text{上に凸} \end{array}$$
となる。$f(e^2)=2^2-2\cdot2=0$ だから変曲点は $(e^2,0)$ である。零点 $(1,0)$、極小点 $(e,-1)$、変曲点 $(e^2,0)$ と両端での極限を合わせると、概形は次のようになる（図は概形）。

以上から、グラフは $x=0$ の右側で $+\infty$ から減少し、$(1,0)$ を通って $(e,-1)$ で最小となる。その後増加し、$(e^2,0)$ で凹凸が変わり、以後は上に凸のまま増加して $+\infty$ に向かう。