1千葉大学 2025年 数学 第1問解答・解説

(1) $\log_{10}(12^{77})=77(\log_{10}3+2\log_{10}2)=83.0907$。したがって $10^{83}<12^{77}<10^{84}$ で $\boxed{84\text{桁}}$。また $0<0.0907<\log_{10}2$ より $1<10^{0.0907}<2$ なので最高位は $\boxed1$。
(2) $f(x)=x^3-3ax+1/\sqrt2$。$a\leqq0$ では $x_1<x_2$ ならば $f(x_1)<f(x_2)$ が成り立ち、実数解がただ1つ。根は単根（$a=0$でも根は0でない）だから残る2根は非実数。
$a>0$ では $f'=3(x^2-a)$、極大値は $f(-\sqrt a)=2a^{3/2}+1/\sqrt2>0$、極小値は $f(\sqrt a)=1/\sqrt2-2a^{3/2}$。非実数解があるのは極小値が正のときで、これは $a<1/2$。等号時は重根を含む全根が実数となる。よって全体で $\boxed{a<1/2}$。