IV日本医科大学 2025年 数学 第IV問解答・解説

以下の各問いに答えよ。

問1 全ての実数$x$に対して定義された関数$a(x)$に対して、関数$b(x),c(x)$を次で定める。
$$b(x)=\frac{1}{2}\left\{a(x)+a(-x)\right\},\quad c(x)=\frac{1}{2}\left\{a(x)-a(-x)\right\}$$
このとき、$b(x)$は$x$の偶関数、$c(x)$は$x$の奇関数、となることをそれぞれ示せ。

問2 全ての実数$x$に対して定義された連続関数$f(x)$は次の条件(i),(ii)を満たすものとする。

(i) $f(0)=2,$

(ii) $\displaystyle f(x+h)+\int_{x}^{x+h}g(t)f(t)\,dt=f(x)$ が全ての実数$x,h$に対して成り立つ。

ただし、
$$g(x)=\frac{e^{x}}{1+e^{x}}+\frac{\sin x}{3+\cos x}$$
である。このとき、以下の(1)〜(3)の各問いに答えよ。

(1) 関数$f(x)$は微分可能であることを示し、$f(x)$の導関数$f'(x)$を、$f(x)$と$g(x)$を用いて表せ。

(2) (ii)で与えた関数$g(x)$の原始関数$G(x)$で$G(0)=0$を満たすものを求めよ。答えのみでよい。

(3) (2)の$G(x)$に対して関数$h(x)$を
$$h(x)=e^{G(x)}f(x)$$
で定めるとき、$h(x)$の導関数$h'(x)$を計算することにより$f(x)$を求めよ。

問3 問2で求めた関数$f(x)$に対して、次の定積分の値を求めよ。
$$I=\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx$$

(計算用紙)