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自治医科大学／2022年度／前期

9自治医科大学 2022年 数学 第9問解答・解説

ベクトル

1問題

自治医科大学2022年度第9問
3 つの点 A(1, 2, −2)\mathrm{A}(1,\,2,\,-2)、B(2, 1, 3)\mathrm{B}(2,\,1,\,3)、C(3, 4, 2)\mathrm{C}(3,\,4,\,2) が定める平面 ABC 上に点 P(0, 4, k)\mathrm{P}(0,\,4,\,k)（kk は実数）が存在するとき、∣2k+10∣|2k+10| の値を求めよ。

㋐ 00　㋕ 11　㋚ 22　㋟ 33　㋤ 44
㋩ 55　㋮ 66　㋳ 77　㋶ 88　㋻ 99

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • 答え
    77（㋳）

3解答

解答を見る途中式つきの解答

考え方

P が平面 ABC 上にあることは、AP→=sAB→+tAC→\overrightarrow{\mathrm{AP}}=s\overrightarrow{\mathrm{AB}}+t\overrightarrow{\mathrm{AC}} となる実数 ss、tt があることと同じ。成分を比べる。

解答

AB→=(1, −1, 5)\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(1,\,-1,\,5)、AC→=(2, 2, 4)\overrightarrow{\mathrm{AC}}=(2,\,2,\,4)、AP→=(−1, 2, k+2)\overrightarrow{\mathrm{AP}}=(-1,\,2,\,k+2)。AP→=sAB→+tAC→\overrightarrow{\mathrm{AP}}=s\overrightarrow{\mathrm{AB}}+t\overrightarrow{\mathrm{AC}} とすると
s+2t=−1,−s+2t=2,5s+4t=k+2. s+2t=-1,\qquad -s+2t=2,\qquad 5s+4t=k+2.
はじめの 2 式から t=14t=\dfrac{1}{4}、s=−32s=-\dfrac{3}{2}。3 つ目の式から k+2=−152+1=−132k+2=-\dfrac{15}{2}+1=-\dfrac{13}{2}、k=−172k=-\dfrac{17}{2}。

よって ∣2k+10∣=∣−17+10∣=7|2k+10|=|-17+10|=7。答えは 77（㋳）。

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

  • 平面上の点の表し方

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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