24自治医科大学 2022年 数学 第24問解答・解説

$a=\dfrac{4095}{n}-\dfrac{3}{2}(n-1)$ は $n$ について減少する。$n(2a+3n-3)=8190$ から、$a$ が正の整数になる $n$ の条件を約数で調べ、そのうち最大の $n$ を選ぶ。

$a=\dfrac{4095}{n}-\dfrac{3}{2}(n-1)$ は $n$ が大きいほど小さいので、$a$ が正の整数となる $n$ のうち最大のものを求めればよい。

$a>0$ より $3n(n-1)<8190$、$n(n-1)<2730$ で、$52\cdot 51=2652$、$53\cdot 52=2756$ より $n\leqq 52$。

$n(2a+3n-3)=8190=2\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7\cdot 13$ で、$a$ が整数となるのは次のとき。
- $n$ が奇数：$n$ が $4095$ の約数なら $\dfrac{8190}{n}$ は偶数、$3n-3$ も偶数で、$2a=\dfrac{8190}{n}-3n+3$ は偶数。
- $n$ が偶数：$\dfrac{n}{2}$ が $4095$ の奇数の約数なら $2a+3n-3=\dfrac{4095}{n/2}$ は奇数、$3n-3$ も奇数で、$2a$ は偶数。

52 以下でこれを満たす $n$ は、奇数では $1,\,3,\,5,\,7,\,9,\,13,\,15,\,21,\,35,\,39,\,45$、偶数では $2,\,6,\,10,\,14,\,18,\,26,\,30,\,42$。最大は $n=45$ で、
$$a=\dfrac{4095}{45}-\dfrac{3}{2}\cdot 44=91-66=25.$$
よって $n=45$、$a$ の最小値は $25$。答えは $45$（㋮）。