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自治医科大学／2022年度／前期

19自治医科大学 2022年 数学 第19問解答・解説

三角関数

1問題

自治医科大学2022年度第19問
次の文章を読み、以下の問い（問題 18\boxed{18}〜21\boxed{21}）に対する選択肢から最も適当なものを一つだけ選べ。

関数 y=sin⁡x+3cos⁡x+sin⁡xcos⁡x+33cos⁡2xy=\sin x+\sqrt{3}\cos x+\sin x\cos x+\dfrac{\sqrt{3}}{3}\cos^{2}x（0≦x<2π0\leqq x<2\pi）の最大値（MM）と最小値（mm）について考える。

II　関数 y=sin⁡x+3cos⁡x+sin⁡xcos⁡x+33cos⁡2xy=\sin x+\sqrt{3}\cos x+\sin x\cos x+\dfrac{\sqrt{3}}{3}\cos^{2}x（0≦x<2π0\leqq x<2\pi）を tt の式で表記すると、y=36(t+B)2−Cy=\dfrac{\sqrt{3}}{6}(t+B)^{2}-C となる。B=19B=\boxed{19}、C=20C=\boxed{20} である。

19\boxed{19} の選択肢

㋐ 00　㋕ 11　㋚ 3\sqrt{3}　㋟ 232\sqrt{3}　㋤ 333\sqrt{3}
㋩ 6\sqrt{6}　㋮ 262\sqrt{6}　㋳ 363\sqrt{6}　㋶ 88　㋻ 99

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • 答え
    3\sqrt{3}（㋚）

3解答

解答を見る途中式つきの解答

考え方

t2t^{2} を計算すると sin⁡xcos⁡x\sin x\cos x と cos⁡2x\cos^{2}x が出てくるので、残りの項を t2t^{2} で表して平方完成する。

解答

t2=sin⁡2x+23sin⁡xcos⁡x+3cos⁡2x=1+23sin⁡xcos⁡x+2cos⁡2x t^{2}=\sin^{2}x+2\sqrt{3}\sin x\cos x+3\cos^{2}x=1+2\sqrt{3}\sin x\cos x+2\cos^{2}x
だから
sin⁡xcos⁡x+33cos⁡2x=36(23sin⁡xcos⁡x+2cos⁡2x)=36(t2−1). \sin x\cos x+\dfrac{\sqrt{3}}{3}\cos^{2}x=\dfrac{\sqrt{3}}{6}\left(2\sqrt{3}\sin x\cos x+2\cos^{2}x\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{6}(t^{2}-1).
よって
y=t+36(t2−1)=36(t2+23 t)−36=36(t+3)2−233. y=t+\dfrac{\sqrt{3}}{6}(t^{2}-1)=\dfrac{\sqrt{3}}{6}\left(t^{2}+2\sqrt{3}\,t\right)-\dfrac{\sqrt{3}}{6}=\dfrac{\sqrt{3}}{6}(t+\sqrt{3})^{2}-\dfrac{2\sqrt{3}}{3}.
B=3B=\sqrt{3}。答えは 3\sqrt{3}（㋚）。

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

  • おき換え
  • 2次式の平方完成

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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