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自治医科大学／2022年度／前期

14自治医科大学 2022年 数学 第14問解答・解説

指数関数・対数関数微分・積分の考え

1問題

自治医科大学2022年度第14問
関数 y=8x+8−x−5(4x+4−x)+6(2x+2−x)+5y=8^{x}+8^{-x}-5(4^{x}+4^{-x})+6(2^{x}+2^{-x})+5（x≧1x\geqq 1、xx は実数）の最小値を求めよ。

㋐ 00　㋕ 11　㋚ 22　㋟ 33　㋤ 44
㋩ 55　㋮ 66　㋳ 77　㋶ 88　㋻ 99

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • 答え
    66（㋮）

3解答

解答を見る途中式つきの解答

考え方

t=2x+2−xt=2^{x}+2^{-x} とおくと、4x+4−x4^{x}+4^{-x}、8x+8−x8^{x}+8^{-x} は tt で表せる。x≧1x\geqq 1 から tt の範囲を出し、tt の 3 次関数の最小値を求める。

解答

t=2x+2−xt=2^{x}+2^{-x} とおく。2x2^{x} は増加し、x≧1x\geqq 1 で 2x≧2>12^{x}\geqq 2>1 だから、tt は xx について増加し t≧2+12=52t\geqq 2+\dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{2}。
4x+4−x=t2−2,8x+8−x=t3−3t 4^{x}+4^{-x}=t^{2}-2,\qquad 8^{x}+8^{-x}=t^{3}-3t
より
y=t3−3t−5(t2−2)+6t+5=t3−5t2+3t+15. y=t^{3}-3t-5(t^{2}-2)+6t+5=t^{3}-5t^{2}+3t+15.
dydt=3t2−10t+3=(3t−1)(t−3)\dfrac{dy}{dt}=3t^{2}-10t+3=(3t-1)(t-3) だから、t≧52t\geqq\dfrac{5}{2} では t=3t=3 で最小となり
y=27−45+9+15=6. y=27-45+9+15=6.
t=3t=3 となる xx（2x=3+522^{x}=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}）は x≧1x\geqq 1 を満たす。答えは 66（㋮）。

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

  • おき換え
  • 3次関数の増減

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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