16自治医科大学 2022年 数学 第16問解答・解説

曲線$\;{C}_{1}\text{：}y=e^{x}-1$（$x>0$、$x$は実数）、${C}_{2}\text{：}y=\frac{1}{e^{x}-1}$（$x>0$、$x$は実数）、直線$\;{L}_{1}\text{：}x=\frac{1}{2}\;\text{、}$直線$\;{L}_{2}\text{：}x=k\;$$\text{（}\;k>\log 2\;\text{、}$$k\;$は実数）について考える。直線$\;{L}_{1}\;$と$\;x\;$軸の交点を$\;\mathrm{E}\;\text{、}$直線$\;{L}_{1}\;$と曲線$\;{C}_{1}\;$の交点を$\;\mathrm{F}\;\text{、}$直線$\;{L}_{2}\;$と$\;x\;$軸の交点を$\;\mathrm{G}\;\text{、}$直線$\;{L}_{2}\;$と曲線$\;{C}_{2}\;$の交点を$\;\mathrm{H}\;$とする。$x\;$軸、線分$\;EF\;\text{、}$曲線$\;{C}_{1}\;\text{、}$曲線$\;{C}_{2}\;\text{、}$線分$\;GH\;$で囲まれた面積を$\;{S}_{k}\;$とする。

　$\displaystyle {\lim }_{k\to \infty }{S}_{k}\;$の値を求めよ。ただし、$e\;$は自然対数の底、$\log 2\;$は自然対数とする。必要があれば、$-\frac{1}{{e}^{x}-1}=\frac{{e}^{x}-1-{e}^{x}}{{e}^{x}-1}\;$を用いよ。

$\text{㋐}\;\frac{7}{2}+\sqrt{e}\;$$\text{㋕}\;\frac{5}{2}+\sqrt{e}\;$$\text{㋚}\;\frac{3}{2}+\sqrt{e}\;$

$\text{㋟}\;1+\sqrt{e}\;$$\text{㋤}\;\frac{1}{2}+\sqrt{e}\;$$\text{㋩}\;\frac{7}{2}-\sqrt{e}\;$

$\text{㋮}\;\frac{5}{2}-\sqrt{e}\;$$\text{㋳}\;\frac{3}{2}-\sqrt{e}\;$$\text{㋶}\;1-\sqrt{e}\;$

$\text{㋻}\;\frac{1}{2}-\sqrt{e}$