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自治医科大学／2022年度／前期

17自治医科大学 2022年 数学 第17問解答・解説

積分法

1問題

自治医科大学2022年度第17問
S=∫1e3x2(log⁡x)2 dxS=\displaystyle\int_{1}^{e^{3}}x^{2}(\log x)^{2}\,dx とする。log⁡(27S+265)\log\left(\dfrac{27S+2}{65}\right) の値を求めよ。

ただし、ee は自然対数の底、log⁡x\log x、log⁡(27S+265)\log\left(\dfrac{27S+2}{65}\right) は自然対数とする。

㋐ 00　㋕ 11　㋚ 22　㋟ 33　㋤ 44
㋩ 55　㋮ 66　㋳ 77　㋶ 88　㋻ 99

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • 答え
    99（㋻）

3解答

解答を見る途中式つきの解答

考え方

部分積分を 2 回行い、(log⁡x)2(\log x)^{2} の次数を下げる。

解答

部分積分により
∫x2(log⁡x)2 dx=x33(log⁡x)2−23∫x2log⁡x dx, \int x^{2}(\log x)^{2}\,dx=\dfrac{x^{3}}{3}(\log x)^{2}-\dfrac{2}{3}\int x^{2}\log x\,dx,
∫x2log⁡x dx=x33log⁡x−x39+C. \int x^{2}\log x\,dx=\dfrac{x^{3}}{3}\log x-\dfrac{x^{3}}{9}+C.
よって x2(log⁡x)2x^{2}(\log x)^{2} の原始関数の 1 つは
F(x)=x33(log⁡x)2−2x39log⁡x+2x327. F(x)=\dfrac{x^{3}}{3}(\log x)^{2}-\dfrac{2x^{3}}{9}\log x+\dfrac{2x^{3}}{27}.
F(e3)=e9(3−23+227)=6527e9F(e^{3})=e^{9}\left(3-\dfrac{2}{3}+\dfrac{2}{27}\right)=\dfrac{65}{27}e^{9}、F(1)=227F(1)=\dfrac{2}{27} だから
S=65e9−227,27S+265=e9. S=\dfrac{65e^{9}-2}{27},\qquad \dfrac{27S+2}{65}=e^{9}.
よって log⁡(27S+265)=9\log\left(\dfrac{27S+2}{65}\right)=9。答えは 99（㋻）。

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

  • 部分積分法

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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