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自治医科大学／2022年度／前期

25自治医科大学 2022年 数学 第25問解答・解説

数列数学と人間の活動（整数）

1問題

自治医科大学2022年度第25問
次の文章を読み、以下の問い（問題 22\boxed{22}〜25\boxed{25}）に対する選択肢から最も適当なものを一つだけ選べ。

初項が aa（aa は正の整数）、公差が 3 の等差数列 {an}\{a_{n}\}（nn は自然数）について考える。

この等差数列 {an}\{a_{n}\} の初項から第 nn 項までの和を SnS_{n} とする。Sn=4095S_{n}=4095 であるとき、以下の設問に答えよ。

III　n=24n=\boxed{24} のとき、aa は最小値 25\boxed{25} をとる。（aa は正の整数）

25\boxed{25} の選択肢

㋐ 1616　㋕ 1717　㋚ 1818　㋟ 1919　㋤ 2020
㋩ 2121　㋮ 2222　㋳ 2323　㋶ 2424　㋻ 2525

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • 答え
    2525（㋻）

3解答

解答を見る途中式つきの解答

考え方

a=4095n−32(n−1)a=\dfrac{4095}{n}-\dfrac{3}{2}(n-1) は nn について減少する。aa が正の整数になる nn のうち最大のものを、81908190 の約数を使って探す。

解答

a=4095n−32(n−1)a=\dfrac{4095}{n}-\dfrac{3}{2}(n-1) は nn が大きいほど小さい。a>0a>0 より n(n−1)<2730n(n-1)<2730、n≦52n\leqq 52。

n(2a+3n−3)=8190n(2a+3n-3)=8190 で aa が整数となるのは、nn が 40954095 の約数（奇数）のときか、n2\dfrac{n}{2} が 40954095 の約数（nn が偶数）のときである（どちらも 2a2a が偶数になる）。52 以下でこれを満たす最大の nn は 4545（次は 4242）。

n=45n=45 のとき
a=409545−32⋅44=91−66=25. a=\dfrac{4095}{45}-\dfrac{3}{2}\cdot 44=91-66=25.
（n=42n=42 なら a=97.5−61.5=36a=97.5-61.5=36。）よって aa の最小値は 2525。答えは 2525（㋻）。

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

  • 約数の利用
  • 単調性の利用

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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