15自治医科大学 2022年 数学 第15問解答・解説

両端 $x=-\pi$、$\dfrac{\pi}{2}$ で 2 曲線は交わる。その間で $C_{2}$ が上にあることを確かめて、差を積分する。

$x=-\pi$ で $C_{1}$、$C_{2}$ はともに $0$、$x=\dfrac{\pi}{2}$ でともに $1$ となり、両端で交わる。

$-\pi\leqq x\leqq 0$ では $\sin x\leqq 0\leqq -\dfrac{4}{3\pi^{2}}x^{2}+\dfrac{4}{3}$。$0\leqq x\leqq\dfrac{\pi}{2}$ では $C_{2}$ は減少するので $C_{2}$ の値は $1$ 以上で、$\sin x\leqq 1$。よってこの範囲で $C_{2}$ が上にある。
$$S=\int_{-\pi}^{\frac{\pi}{2}}\left(-\dfrac{4}{3\pi^{2}}x^{2}+\dfrac{4}{3}-\sin x\right)dx =\left[-\dfrac{4}{9\pi^{2}}x^{3}+\dfrac{4}{3}x+\cos x\right]_{-\pi}^{\frac{\pi}{2}}.$$
$x=\dfrac{\pi}{2}$ での値は $-\dfrac{\pi}{18}+\dfrac{2\pi}{3}+0=\dfrac{11\pi}{18}$、$x=-\pi$ での値は $\dfrac{4\pi}{9}-\dfrac{4\pi}{3}-1=-\dfrac{8\pi}{9}-1$。よって
$$S=\dfrac{11\pi}{18}+\dfrac{16\pi}{18}+1=\dfrac{3}{2}\pi+1$$
で、$S-\dfrac{3}{2}\pi=1$。答えは $1$（㋕）。