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自治医科大学／2022年度／前期

7自治医科大学 2022年 数学 第7問解答・解説

ベクトル図形と方程式

1問題

自治医科大学2022年度第7問
座標平面上（原点を O とする）において、放物線 C1:y=x2C_{1}:y=x^{2} 上に点 P（点 P の xx 座標は正の実数とする）、放物線 C2:y=12x2C_{2}:y=\dfrac{1}{2}x^{2} 上に点 Q をとることにする。△OPQ\triangle\mathrm{OPQ} の面積を SS と表記する。

OP→⋅OQ→=−12\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=-\dfrac{1}{2} のとき、SS の最小値を mm とする。2m22m^{2} の値を求めよ。

㋐ 00　㋕ 11　㋚ 22　㋟ 33　㋤ 44
㋩ 55　㋮ 66　㋳ 77　㋶ 88　㋻ 99

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • 答え
    11（㋕）

3解答

解答を見る途中式つきの解答

考え方

P(p, p2)\mathrm{P}(p,\,p^{2})、Q(q, 12q2)\mathrm{Q}(q,\,\dfrac{1}{2}q^{2}) とおくと、内積の条件は pqpq の 2 次式になり pqpq が決まる。面積は 12∣x1y2−x2y1∣\dfrac{1}{2}|x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}| で表し、相加平均と相乗平均の関係で最小値を求める。

解答

P(p, p2)\mathrm{P}(p,\,p^{2})（p>0p>0）、Q(q, 12q2)\mathrm{Q}\left(q,\,\dfrac{1}{2}q^{2}\right) とおく。
OP→⋅OQ→=pq+12p2q2=−12  ⟺  (pq)2+2pq+1=0  ⟺  (pq+1)2=0 \overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=pq+\dfrac{1}{2}p^{2}q^{2}=-\dfrac{1}{2} \iff (pq)^{2}+2pq+1=0\iff (pq+1)^{2}=0
より pq=−1pq=-1、すなわち q=−1pq=-\dfrac{1}{p}。

S=12∣p⋅12q2−q⋅p2∣=12∣pq∣∣q2−p∣=12(p+12p) S=\dfrac{1}{2}\left|p\cdot\dfrac{1}{2}q^{2}-q\cdot p^{2}\right|=\dfrac{1}{2}|pq|\left|\dfrac{q}{2}-p\right|=\dfrac{1}{2}\left(p+\dfrac{1}{2p}\right)
（q<0<pq<0<p より q2−p<0\dfrac{q}{2}-p<0）。相加平均と相乗平均の関係より
S≧12⋅2p⋅12p=12 S\geqq\dfrac{1}{2}\cdot 2\sqrt{p\cdot\dfrac{1}{2p}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}
で、等号は p=12pp=\dfrac{1}{2p}、すなわち p=12p=\dfrac{1}{\sqrt{2}} のとき成り立つ。

よって m=12m=\dfrac{1}{\sqrt{2}}、2m2=12m^{2}=1。答えは 11（㋕）。

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

  • 内積の成分表示
  • 三角形の面積の公式
  • 相加平均と相乗平均の関係

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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