13自治医科大学 2022年 数学 第13問解答・解説

$\ell$ は $y=m(x+1)-249$ と書けるので、$m$ によらず点 $(-1,\,-249)$ を通る。この点は $C$ 上にもあるので、$C$ と $\ell$ の式の差は $x+1$ を因数にもつ。

$\ell:y=m(x+1)-249$ は定点 $(-1,\,-249)$ を通り、$x=-1$ のとき $C$ の $y$ 座標も $-1-27-231+10=-249$ である。よって
$$x^{3}-27x^{2}+231x+10-\{m(x+1)-249\}=(x+1)(x^{2}-28x+259-m).$$
$C$ と $\ell$ が接して、ほかにもう 1 点で交わるのは、次のどちらかのとき。
- $x^{2}-28x+259-m=0$ が $x=-1$ 以外の重解をもつ：判別式から $m=259-196=63$、重解は $x=14$。接点の $x$ 座標 14、交点の $x$ 座標 $-1$。
- $x^{2}-28x+259-m=0$ が $x=-1$ を解にもつ：$m=288$、もう 1 つの解は $29$。接点の $x$ 座標 $-1$、交点の $x$ 座標 29 で、$\alpha>\beta$ に反する。

よって $\alpha=14$、$\beta=-1$、$m=63$ で
$$\dfrac{2m}{\alpha}+\beta=\dfrac{126}{14}-1=8.$$
答えは $8$（㋶）。