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自治医科大学／2022年度／前期

8自治医科大学 2022年 数学 第8問解答・解説

ベクトル微分法

1問題

自治医科大学2022年度第8問
座標平面上（原点を O とする）において、円 C:(x−2)2+y2=1C:(x-2)^{2}+y^{2}=1 上に点 P（点 P の yy 座標は正の実数とする）、直線 ℓ:x=0\ell:x=0 上に点 Q(0, t)\mathrm{Q}(0,\,t)（tt は正の実数とする）をとることにする。

OP→⋅QP→=0\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{QP}}=0 を満たしながら点 P、Q が動き、∣OQ→∣|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}| が最小となるときの 53∣OP→∣∣QP→∣\dfrac{5}{3}|\overrightarrow{\mathrm{OP}}||\overrightarrow{\mathrm{QP}}| の値を求めよ。

㋐ 00　㋕ 11　㋚ 22　㋟ 33　㋤ 44
㋩ 55　㋮ 66　㋳ 77　㋶ 88　㋻ 99

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • 答え
    66（㋮）

3解答

解答を見る途中式つきの解答

考え方

P を (2+cos⁡θ, sin⁡θ)(2+\cos\theta,\,\sin\theta)（0<θ<π0<\theta<\pi）と表すと、内積の条件から tt が θ\theta の関数として決まる。これを微分して最小となる θ\theta を求める。

解答

P(2+cos⁡θ, sin⁡θ)\mathrm{P}(2+\cos\theta,\,\sin\theta)（0<θ<π0<\theta<\pi）とおく。QP→=OP→−OQ→\overrightarrow{\mathrm{QP}}=\overrightarrow{\mathrm{OP}}-\overrightarrow{\mathrm{OQ}} だから
OP→⋅QP→=∣OP→∣2−tsin⁡θ=0 \overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{QP}}=|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|^{2}-t\sin\theta=0
で、∣OP→∣2=(2+cos⁡θ)2+sin⁡2θ=5+4cos⁡θ|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|^{2}=(2+\cos\theta)^{2}+\sin^{2}\theta=5+4\cos\theta より
∣OQ→∣=t=5+4cos⁡θsin⁡θ. |\overrightarrow{\mathrm{OQ}}|=t=\dfrac{5+4\cos\theta}{\sin\theta}.
これを g(θ)g(\theta) とおくと
g′(θ)=−4sin⁡2θ−(5+4cos⁡θ)cos⁡θsin⁡2θ=−(4+5cos⁡θ)sin⁡2θ. g'(\theta)=\dfrac{-4\sin^{2}\theta-(5+4\cos\theta)\cos\theta}{\sin^{2}\theta}=\dfrac{-(4+5\cos\theta)}{\sin^{2}\theta}.
cos⁡θ>−45\cos\theta>-\dfrac{4}{5} で g′(θ)<0g'(\theta)<0、cos⁡θ<−45\cos\theta<-\dfrac{4}{5} で g′(θ)>0g'(\theta)>0 だから、gg は cos⁡θ=−45\cos\theta=-\dfrac{4}{5}（sin⁡θ=35\sin\theta=\dfrac{3}{5}）で最小となり、そのとき t=5−16535=3t=\dfrac{5-\frac{16}{5}}{\frac{3}{5}}=3。

このとき P(65, 35)\mathrm{P}\left(\dfrac{6}{5},\,\dfrac{3}{5}\right)、Q(0, 3)\mathrm{Q}(0,\,3) で
∣OP→∣=36+95=355,∣QP→∣=∣(65, −125)∣=655. |\overrightarrow{\mathrm{OP}}|=\dfrac{\sqrt{36+9}}{5}=\dfrac{3\sqrt{5}}{5},\qquad |\overrightarrow{\mathrm{QP}}|=\left|\left(\dfrac{6}{5},\,-\dfrac{12}{5}\right)\right|=\dfrac{6\sqrt{5}}{5}.
よって
53∣OP→∣∣QP→∣=53⋅185=6. \dfrac{5}{3}|\overrightarrow{\mathrm{OP}}||\overrightarrow{\mathrm{QP}}|=\dfrac{5}{3}\cdot\dfrac{18}{5}=6.
答えは 66（㋮）。

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

  • 内積の成分表示
  • 円の媒介変数表示
  • 導関数による最小値

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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