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自治医科大学／2022年度／前期

10自治医科大学 2022年 数学 第10問解答・解説

平面上の曲線と複素数平面三角関数

1問題

自治医科大学2022年度第10問
実数 xx、yy（y≧0y\geqq 0）が x24+y29=1\dfrac{x^{2}}{4}+\dfrac{y^{2}}{9}=1 を満たすとき、5x+2y5x+2y のとりうる値の範囲は、m≦5x+2y≦Mm\leqq 5x+2y\leqq M となる。M2−m2\sqrt{M^{2}-m^{2}} の値を求めよ。

㋐ 00　㋕ 11　㋚ 22　㋟ 33　㋤ 44
㋩ 55　㋮ 66　㋳ 77　㋶ 88　㋻ 99

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • 答え
    66（㋮）

3解答

解答を見る途中式つきの解答

考え方

x=2cos⁡θx=2\cos\theta、y=3sin⁡θy=3\sin\theta（0≦θ≦π0\leqq\theta\leqq\pi）とおいて合成する。θ\theta の範囲が半周だけなので、最小値は端で決まることに注意する。

解答

y≧0y\geqq 0 より x=2cos⁡θx=2\cos\theta、y=3sin⁡θy=3\sin\theta（0≦θ≦π0\leqq\theta\leqq\pi）とおける。
5x+2y=10cos⁡θ+6sin⁡θ=234sin⁡(θ+φ) 5x+2y=10\cos\theta+6\sin\theta=2\sqrt{34}\sin(\theta+\varphi)
ただし sin⁡φ=534\sin\varphi=\dfrac{5}{\sqrt{34}}、cos⁡φ=334\cos\varphi=\dfrac{3}{\sqrt{34}}（0<φ<π20<\varphi<\dfrac{\pi}{2}）。

θ+φ\theta+\varphi は φ\varphi から π+φ\pi+\varphi まで動く。最大は θ+φ=π2\theta+\varphi=\dfrac{\pi}{2} のときで M=234M=2\sqrt{34}。最小は端 θ+φ=π+φ\theta+\varphi=\pi+\varphi（θ=π\theta=\pi）のときで
m=234sin⁡(π+φ)=−234⋅534=−10. m=2\sqrt{34}\sin(\pi+\varphi)=-2\sqrt{34}\cdot\dfrac{5}{\sqrt{34}}=-10.
よって M2−m2=136−100=6\sqrt{M^{2}-m^{2}}=\sqrt{136-100}=6。答えは 66（㋮）。

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

  • 楕円の媒介変数表示
  • 三角関数の合成

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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