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自治医科大学／2022年度／前期

5自治医科大学 2022年 数学 第5問解答・解説

いろいろな式

1問題

自治医科大学2022年度第5問
ω=−1+3 i2\omega=\dfrac{-1+\sqrt{3}\,i}{2} とする（i2=−1i^{2}=-1）。∣ω100+ω50∣|\omega^{100}+\omega^{50}| の値を求めよ。

㋐ 00　㋕ 11　㋚ 22　㋟ 33　㋤ 44
㋩ 55　㋮ 66　㋳ 77　㋶ 88　㋻ 99

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • 答え
    11（㋕）

3解答

解答を見る途中式つきの解答

考え方

ω\omega は ω3=1\omega^{3}=1、ω2+ω+1=0\omega^{2}+\omega+1=0 を満たすので、指数を 3 で割った余りに直す。

解答

ω\omega は x2+x+1=0x^{2}+x+1=0 の解だから ω2+ω+1=0\omega^{2}+\omega+1=0、また ω3−1=(ω−1)(ω2+ω+1)=0\omega^{3}-1=(\omega-1)(\omega^{2}+\omega+1)=0 より ω3=1\omega^{3}=1。

100=3⋅33+1100=3\cdot 33+1、50=3⋅16+250=3\cdot 16+2 だから ω100=ω\omega^{100}=\omega、ω50=ω2\omega^{50}=\omega^{2}。よって
∣ω100+ω50∣=∣ω+ω2∣=∣−1∣=1. |\omega^{100}+\omega^{50}|=|\omega+\omega^{2}|=|-1|=1.
答えは 11（㋕）。

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

  • 1の3乗根

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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