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自治医科大学／2022年度／前期

12自治医科大学 2022年 数学 第12問解答・解説

場合の数と確率

1問題

自治医科大学2022年度第12問
座標平面上で点 P は原点 O から出発して、1)、2) のように動くものとする。

1) 1 枚の硬貨を投げて表であれば、xx 軸の正の方向へ 1 動く。

2) 1 枚の硬貨を投げて裏であれば、yy 軸の正の方向へ 1 動く。

硬貨を 7 回続けて投げたとき、線分 OP の長さが整数となる確率を kk とする。

16k16k の値を求めよ。

㋐ 00　㋕ 11　㋚ 22　㋟ 33　㋤ 44
㋩ 55　㋮ 66　㋳ 77　㋶ 88　㋻ 99

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • 答え
    99（㋻）

3解答

解答を見る途中式つきの解答

考え方

表が rr 回なら P(r, 7−r)\mathrm{P}(r,\,7-r)。OP2=r2+(7−r)2\mathrm{OP}^{2}=r^{2}+(7-r)^{2} が平方数になる rr を調べる。

解答

表が rr 回（0≦r≦70\leqq r\leqq 7）出ると P(r, 7−r)\mathrm{P}(r,\,7-r) で、OP2=r2+(7−r)2\mathrm{OP}^{2}=r^{2}+(7-r)^{2}。
- r=0, 7r=0,\,7：4949（OP=7\mathrm{OP}=7）
- r=1, 6r=1,\,6：3737
- r=2, 5r=2,\,5：2929
- r=3, 4r=3,\,4：2525（OP=5\mathrm{OP}=5）

OP が整数になるのは r=0, 3, 4, 7r=0,\,3,\,4,\,7 のときだから
k=7C0+7C3+7C4+7C727=1+35+35+1128=916. k=\dfrac{{}_{7}\mathrm{C}_{0}+{}_{7}\mathrm{C}_{3}+{}_{7}\mathrm{C}_{4}+{}_{7}\mathrm{C}_{7}}{2^{7}}=\dfrac{1+35+35+1}{128}=\dfrac{9}{16}.
よって 16k=916k=9。答えは 99（㋻）。

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

  • 反復試行の確率

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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