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自治医科大学／2022年度／前期

6自治医科大学 2022年 数学 第6問解答・解説

図形と計量

1問題

自治医科大学2022年度第6問
1 辺の長さが 1 の正五角形 P について考える。正五角形 P の外接円を C とする。正五角形 P の面積を SS、外接円 C の面積を TT と表記する。

TS⋅5π10+25\dfrac{T}{S}\cdot\dfrac{5}{\pi}\sqrt{10+2\sqrt{5}} の値を求めよ。sin⁡72∘=10+254\sin 72^{\circ}=\dfrac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4} である。

㋐ 00　㋕ 11　㋚ 22　㋟ 33　㋤ 44
㋩ 55　㋮ 66　㋳ 77　㋶ 88　㋻ 99

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • 答え
    88（㋶）

3解答

解答を見る途中式つきの解答

考え方

外接円の半径を RR とすると、正五角形は中心角 72∘72^{\circ}、2 辺が RR の二等辺三角形 5 つに分けられる。T/ST/S では RR が消える。

解答

外接円 C の半径を RR とする。正五角形 P は、中心と隣り合う 2 頂点を結んでできる、2 辺が RR で挟む角が 72∘72^{\circ} の三角形 5 つに分けられるから
S=5⋅12R2sin⁡72∘,T=πR2. S=5\cdot\dfrac{1}{2}R^{2}\sin 72^{\circ},\qquad T=\pi R^{2}.
よって
TS=2π5sin⁡72∘=2π5⋅410+25=8π510+25 \dfrac{T}{S}=\dfrac{2\pi}{5\sin 72^{\circ}}=\dfrac{2\pi}{5}\cdot\dfrac{4}{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}=\dfrac{8\pi}{5\sqrt{10+2\sqrt{5}}}
で、
TS⋅5π10+25=8. \dfrac{T}{S}\cdot\dfrac{5}{\pi}\sqrt{10+2\sqrt{5}}=8.
答えは 88（㋶）。

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

  • 三角形の面積
  • 正多角形の分割

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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