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自治医科大学／2022年度／前期

2自治医科大学 2022年数学第2問解答・解説

数と式

1問題

自治医科大学2022年度第2問

x=\sqrt{2}+\sqrt{6}

、

y=\sqrt{2}-\sqrt{6}

であるとき、

A=\dfrac{x^{9}-y^{9}}{x^{6}-y^{6}}

とする。

\dfrac{5A}{34\sqrt{2}}

の値を求めよ。

㋐

0

　㋕

1

　㋚

2

　㋟

3

　㋤

4

㋩

5

　㋮

6

　㋳

7

　㋶

8

　㋻

9

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

答え
$6$ （㋮）

3解答

解答を見る途中式つきの解答

考え方

X=x^{3}

、

Y=y^{3}

とみると、分子は

X^{3}-Y^{3}

、分母は

X^{2}-Y^{2}

で、共通因数

X-Y

が約分できる。残りを

x+y

、

xy

で計算する。

解答

x+y=2\sqrt{2}

、

xy=2-6=-4

である。

x\neq y

だから

x^{3}\neq y^{3}

で、

A=\dfrac{(x^{3}-y^{3})(x^{6}+x^{3}y^{3}+y^{6})}{(x^{3}-y^{3})(x^{3}+y^{3})}=\dfrac{x^{6}+x^{3}y^{3}+y^{6}}{x^{3}+y^{3}}.

ここで

x^{3}+y^{3}=(x+y)^{3}-3xy(x+y)=16\sqrt{2}+24\sqrt{2}=40\sqrt{2},\qquad x^{3}y^{3}=(-4)^{3}=-64,

x^{6}+y^{6}=(x^{3}+y^{3})^{2}-2x^{3}y^{3}=3200+128=3328

だから

A=\dfrac{3328-64}{40\sqrt{2}}=\dfrac{3264}{40\sqrt{2}}=\dfrac{408}{5\sqrt{2}}.

よって

\dfrac{5A}{34\sqrt{2}}=\dfrac{408}{34\cdot 2}=6.

答えは

6

（㋮）。

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

対称式
因数分解

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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