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自治医科大学／2022年度／前期

21自治医科大学 2022年 数学 第21問解答・解説

三角関数二次関数

1問題

自治医科大学2022年度第21問
次の文章を読み、以下の問い（問題 18\boxed{18}〜21\boxed{21}）に対する選択肢から最も適当なものを一つだけ選べ。

関数 y=sin⁡x+3cos⁡x+sin⁡xcos⁡x+33cos⁡2xy=\sin x+\sqrt{3}\cos x+\sin x\cos x+\dfrac{\sqrt{3}}{3}\cos^{2}x（0≦x<2π0\leqq x<2\pi）の最大値（MM）と最小値（mm）について考える。

III　∣3m+4M∣|3m+4M| の値は 21\boxed{21} となる。

㋐ 00　㋕ 11　㋚ 22　㋟ 33　㋤ 44
㋩ 55　㋮ 66　㋳ 77　㋶ 88　㋻ 99

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • 答え
    88（㋶）

3解答

解答を見る途中式つきの解答

考え方

t=2sin⁡(x+π3)t=2\sin\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right) のとりうる値の範囲は −2≦t≦2-2\leqq t\leqq 2。yy を tt の 2 次関数として、この範囲で最大・最小を求める。

解答

t=sin⁡x+3cos⁡x=2sin⁡(x+π3)t=\sin x+\sqrt{3}\cos x=2\sin\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right) は、0≦x<2π0\leqq x<2\pi で −2≦t≦2-2\leqq t\leqq 2 のすべての値をとる。また t2=1+23sin⁡xcos⁡x+2cos⁡2xt^{2}=1+2\sqrt{3}\sin x\cos x+2\cos^{2}x より
y=t+36(t2−1)=36(t+3)2−233. y=t+\dfrac{\sqrt{3}}{6}(t^{2}-1)=\dfrac{\sqrt{3}}{6}(t+\sqrt{3})^{2}-\dfrac{2\sqrt{3}}{3}.
軸 t=−3t=-\sqrt{3} は範囲内にあるので、最小値は m=−233m=-\dfrac{2\sqrt{3}}{3}。軸から遠い t=2t=2 で最大となり
M=36(7+43)−233=2+32. M=\dfrac{\sqrt{3}}{6}(7+4\sqrt{3})-\dfrac{2\sqrt{3}}{3}=2+\dfrac{\sqrt{3}}{2}.
よって ∣3m+4M∣=∣−23+8+23∣=8|3m+4M|=|-2\sqrt{3}+8+2\sqrt{3}|=8。答えは 88（㋶）。

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

  • おき換え
  • 2次関数の最大・最小

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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