2杏林大学 2023年 数学 第2問解答・解説

$\boxed{\text{ヌ}}$ の解答は該当する解答群から最も適当なものを一つ選べ。

点 $\mathrm{O}$ を原点とする座標空間に 3 点 $\mathrm{A}(-1,\,0,\,-2)$、$\mathrm{B}(-2,\,-2,\,-3)$、$\mathrm{C}(1,\,2,\,-2)$ がある。

(a) ベクトル $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ と $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ の内積は $\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\boxed{\text{アイ}}$ であり、$\triangle\mathrm{ABC}$ の外接円の半径は $\sqrt{\boxed{\text{ウエ}}}$ である。$\triangle\mathrm{ABC}$ の外接円の中心を点 $\mathrm{P}$ とすると、$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\boxed{\text{オ}}\,\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\dfrac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}}}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ が成り立つ。

(b) $\triangle\mathrm{ABC}$ の重心を点 $\mathrm{G}$ とすると、$\overrightarrow{\mathrm{OG}}=\dfrac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}\left(\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}\right)$ であり、線分 $\mathrm{OB}$ を $2:1$ に内分する点を $\mathrm{Q}$ とすると、
$$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}=\left(\dfrac{\boxed{\text{コサ}}}{\boxed{\text{シ}}},\,\dfrac{\boxed{\text{スセ}}}{\boxed{\text{ソ}}},\,\boxed{\text{タ}}\right)$$
となる。

(c) 線分 $\mathrm{OC}$ を $2:1$ に内分する点を $\mathrm{R}$ とし、3 点 $\mathrm{A}$、$\mathrm{Q}$、$\mathrm{R}$ を通る平面 $\alpha$ と直線 $\mathrm{OG}$ との交点を $\mathrm{S}$ とする。点 $\mathrm{S}$ は平面 $\alpha$ 上にあることから、
$$\overrightarrow{\mathrm{OS}}=t\overrightarrow{\mathrm{OA}}+u\overrightarrow{\mathrm{OB}}+v\overrightarrow{\mathrm{OC}}$$
$$\left(\text{ただし、}t,\,u,\,v\text{ は }t+\dfrac{\boxed{\text{チ}}}{\boxed{\text{ツ}}}u+\dfrac{\boxed{\text{テ}}}{\boxed{\text{ト}}}v=1\text{ を満たす実数}\right)$$
と書けるので、$\overrightarrow{\mathrm{OS}}=\dfrac{\boxed{\text{ナ}}}{\boxed{\text{ニ}}}\overrightarrow{\mathrm{OG}}$ となることがわかる。

平面 $\alpha$ 上において、点 $\mathrm{S}$ は三角形 $\mathrm{AQR}$ の $\boxed{\text{ヌ}}$ に存在し、四面体 $\mathrm{O}$-$\mathrm{AQR}$ の体積は、四面体 $\mathrm{O}$-$\mathrm{ABC}$ の体積の $\dfrac{\boxed{\text{ネ}}}{\boxed{\text{ノ}}}$ 倍である。

$\boxed{\text{ヌ}}$ の解答群

① 辺 $\mathrm{AQ}$ 上　② 辺 $\mathrm{AR}$ 上　③ 辺 $\mathrm{QR}$ 上　④ 内部　⑤ 外部