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自治医科大学／2022年度／前期

3自治医科大学 2022年 数学 第3問解答・解説

いろいろな式

1問題

自治医科大学2022年度第3問
2 つの数 α\alpha、β\beta を解とする 2 次方程式
x(x+1)+(x+1)(x+2)+(x+2)(x+3)+(x+3)(x+1)=0 x(x+1)+(x+1)(x+2)+(x+2)(x+3)+(x+3)(x+1)=0
について考える。

(α+2)(β+2)=1k(\alpha+2)(\beta+2)=\dfrac{1}{k} であるとき、kk の値を求めよ。

㋐ 00　㋕ 11　㋚ 22　㋟ 33　㋤ 44
㋩ 55　㋮ 66　㋳ 77　㋶ 88　㋻ 99

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • 答え
    44（㋤）

3解答

解答を見る途中式つきの解答

考え方

左辺を展開して 2 次方程式の形にし、解と係数の関係から α+β\alpha+\beta、αβ\alpha\beta を求める。

解答

左辺を展開すると
(x2+x)+(x2+3x+2)+(x2+5x+6)+(x2+4x+3)=4x2+13x+11 (x^{2}+x)+(x^{2}+3x+2)+(x^{2}+5x+6)+(x^{2}+4x+3)=4x^{2}+13x+11
だから、方程式は 4x2+13x+11=04x^{2}+13x+11=0 である。解と係数の関係より α+β=−134\alpha+\beta=-\dfrac{13}{4}、αβ=114\alpha\beta=\dfrac{11}{4}。

よって
(α+2)(β+2)=αβ+2(α+β)+4=114−132+4=14 (\alpha+2)(\beta+2)=\alpha\beta+2(\alpha+\beta)+4=\dfrac{11}{4}-\dfrac{13}{2}+4=\dfrac{1}{4}
で、k=4k=4。答えは 44（㋤）。

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

  • 解と係数の関係

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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