11自治医科大学 2022年 数学 第11問解答・解説

$u=x+y$、$v=x-y$ とおいて 2 つの不等式を $u$、$v$ で書き直す。2 つ目は $(x-y-2)(x+y-3)$ と因数分解できる。

$u=x+y$、$v=x-y$ とおくと $x=\dfrac{u+v}{2}$、$y=\dfrac{u-v}{2}$。

1 つ目の不等式は $(x-2)^{2}+y^{2}<\dfrac{9}{2}$ で、
$$\left(\dfrac{u+v-4}{2}\right)^{2}+\left(\dfrac{u-v}{2}\right)^{2}<\dfrac{9}{2} \iff (u+v-4)^{2}+(u-v)^{2}<18.$$
$a=u-2$、$b=v-2$ とおくと $(a+b)^{2}+(a-b)^{2}=2(a^{2}+b^{2})$ だから $a^{2}+b^{2}<9$。

2 つ目の不等式は $(x-y-2)(x+y-3)<0$、すなわち $(v-2)(u-3)<0\iff b(a-1)<0$。

整数 $a$、$b$ で $a^{2}+b^{2}\leqq 8$ かつ $b(a-1)<0$ となるものを数える。
- $b>0$、$a\leqq 0$：$a=0,\,-1,\,-2$ のそれぞれで $b=1,\,2$（$a=-3$ は不可）。6 組。
- $b<0$、$a\geqq 2$：$a=2$ で $b=-1,\,-2$（$a=3$ は不可）。2 組。

合わせて 8 組。答えは $8$（㋶）。