4自治医科大学 2022年 数学 第4問解答・解説

右辺は 0 以上なので、まず $\cos x\geqq 0$ が必要。両辺とも 0 以上なら 2 乗して比べてよく、$\sin^{2}x+\cos^{2}x=1$ を使うと $\sin 2x$ の不等式になる。

右辺は 0 以上だから $\cos x\geqq 0$ が必要である。このとき両辺は 0 以上なので、2 乗した不等式と同じ条件になる。
$$3\cos^{2}x\geqq 4\cos^{2}x-4\sin x\cos x+\sin^{2}x \iff 4\sin x\cos x\geqq\sin^{2}x+\cos^{2}x=1 \iff \sin 2x\geqq\dfrac{1}{2}.$$
$0\leqq 2x\leqq 4\pi$ で $\sin 2x\geqq\dfrac{1}{2}$ となるのは
$$\dfrac{\pi}{6}\leqq 2x\leqq\dfrac{5\pi}{6},\qquad \dfrac{13\pi}{6}\leqq 2x\leqq\dfrac{17\pi}{6}$$
すなわち $\dfrac{\pi}{12}\leqq x\leqq\dfrac{5\pi}{12}$ または $\dfrac{13\pi}{12}\leqq x\leqq\dfrac{17\pi}{12}$。後者では $\cos x<0$ なので不適。

よって $\dfrac{\pi}{12}\leqq x\leqq\dfrac{5\pi}{12}$ で、$a=\dfrac{\pi}{12}$、$b=\dfrac{5\pi}{12}$、$\dfrac{b}{a}=5$。答えは $5$（㋩）。