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東北大学／2025年度

5東北大学 2025年 数学 第5問解答・解説

ベクトル図形と方程式

1問題

東北大学2025年度第5問
S を xyz 空間内の原点 O(0,0,0) を中心とする半径 1 の球面とする。また、点 P(a,b,c) を点 N(0,0,1) とは異なる球面 S 上の点とする。点 P と点 N を通る直線 ℓ と xy 平面との交点を Q とおく。このとき、以下の問いに答えよ。

(1) 点 Q の座標を aa, bb, cc を用いて表せ。

(2) xy 平面上の点 (p,q,0)(p,q,0) と点 N を通る直線を m とする。直線 m と球面 S の交点のうち、点 N 以外の交点の座標を p,q を用いて表せ。

(3) 点 (0,0,12)\left(0,0,\frac{1}{2}\right) を通り、ベクトル (3,4,5)(3,4,5) に直交する平面 α\alpha を考える。点 P が平面 α\alpha と球面 S との交わりを動くとき、点 Q は xy 平面上の円周上を動くことを示せ。

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • (1)
    Q=(a1−c, b1−c, 0)\mathrm{Q}=\left(\dfrac{a}{1-c},\,\dfrac{b}{1-c},\,0\right)。
  • (2)
    (2p1+p2+q2, 2q1+p2+q2, p2+q2−11+p2+q2)\left(\dfrac{2p}{1+p^{2}+q^{2}},\,\dfrac{2q}{1+p^{2}+q^{2}},\,\dfrac{p^{2}+q^{2}-1}{1+p^{2}+q^{2}}\right)。
  • (3)
    Q=(p, q, 0)\mathrm{Q}=(p,\,q,\,0) は、中心 (−65, −85)\left(-\dfrac{6}{5},\,-\dfrac{8}{5}\right)、半径 7\sqrt{7} の円、すなわち (p+65)2+(q+85)2=7\left(p+\dfrac{6}{5}\right)^{2}+\left(q+\dfrac{8}{5}\right)^{2}=7 上を動く。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

解答

(1)

直線 ℓ\ell 上の点は ON→+tNP→\overrightarrow{\mathrm{ON}}+t\overrightarrow{\mathrm{NP}} と表せ、その座標は (ta, tb, 1+t(c−1))(ta,\,tb,\,1+t(c-1)) である。z=0z=0 とおけば t=11−ct=\dfrac{1}{1-c} だから
Q=(a1−c, b1−c, 0).\mathrm{Q}=\left(\dfrac{a}{1-c},\,\dfrac{b}{1-c},\,0\right).

(2)

直線 mm 上の点は、M=(p, q, 0)\mathrm{M}=(p,\,q,\,0) とおくと ON→+tNM→\overrightarrow{\mathrm{ON}}+t\overrightarrow{\mathrm{NM}} と表せ、その座標は (tp, tq, 1−t)(tp,\,tq,\,1-t) である。球面上にある条件は
t2(p2+q2)+(1−t)2=1すなわちt{(1+p2+q2)t−2}=0.t^{2}(p^{2}+q^{2})+(1-t)^{2}=1\quad\text{すなわち}\quad t\{(1+p^{2}+q^{2})t-2\}=0.
t=0t=0 は N\mathrm{N} であり、もう一つの交点では t=21+p2+q2t=\dfrac{2}{1+p^{2}+q^{2}}。したがってその座標は
(2p1+p2+q2, 2q1+p2+q2, p2+q2−11+p2+q2).\left(\dfrac{2p}{1+p^{2}+q^{2}},\,\dfrac{2q}{1+p^{2}+q^{2}},\,\dfrac{p^{2}+q^{2}-1}{1+p^{2}+q^{2}}\right).

(3)

平面 α\alpha の法線ベクトルは (3, 4, 5)(3,\,4,\,5) なので、点 (0, 0, 12)\left(0,\,0,\,\dfrac{1}{2}\right) を通ることから
3x+4y+5(z−12)=0.3x+4y+5\left(z-\dfrac{1}{2}\right)=0.
いま Q=(p, q, 0)\mathrm{Q}=(p,\,q,\,0) とおき、(2) で求めた対応する球面上の点を P=(a, b, c)\mathrm{P}=(a,\,b,\,c) とする。すると
3a+4b+5c=6p+8q+5(p2+q2−1)1+p2+q2.3a+4b+5c=\dfrac{6p+8q+5(p^{2}+q^{2}-1)}{1+p^{2}+q^{2}}.
したがって点 P\mathrm{P} が平面 α\alpha 上にある条件は
6p+8q+5(p2+q2−1)1+p2+q2=52すなわち5p2+12p+5q2+16q−15=0.\dfrac{6p+8q+5(p^{2}+q^{2}-1)}{1+p^{2}+q^{2}}=\dfrac{5}{2}\quad\text{すなわち}\quad 5p^{2}+12p+5q^{2}+16q-15=0.
平方完成すると
(p+65)2+(q+85)2=7.\left(p+\dfrac{6}{5}\right)^{2}+\left(q+\dfrac{8}{5}\right)^{2}=7.
(1)、(2) の対応は互いに逆であり、この式を満たす各 (p, q)(p,\,q) に対して対応する P\mathrm{P} は球面上かつ平面 α\alpha 上にある。よって Q\mathrm{Q} は中心 (−65, −85, 0)\left(-\dfrac{6}{5},\,-\dfrac{8}{5},\,0\right)、半径 7\sqrt{7} の円周上を動く。

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

  • 位置ベクトル
  • 空間座標と空間ベクトル
  • ベクトルの成分表示
  • ベクトルの内積
  • ベクトルによる図形の考察
  • 円の方程式
  • 軌跡

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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