1岐阜大学 2025年 数学 第1問解答・解説

(1) $AP:PB=\alpha:(1-\alpha)$ である。$P$ は $A$ から $B$ へ辺 $AB$ を $\alpha$ だけ進んだ点なので、内分の公式から
$$\boxed{\overrightarrow{OP}=(1-\alpha)\vec a+\alpha\vec b}.$$

(2) $OQ:QB=1:2$ より
$$\overrightarrow{OQ}=\frac13\vec b.$$
$D$ は直線 $OP$ 上にあるから $\overrightarrow{OD}=s\overrightarrow{OP}$ とおく。また $D$ は直線 $AQ$ 上にあるから、ある実数 $t$ を用いて
$$\overrightarrow{OD}=(1-t)\vec a+t\overrightarrow{OQ} =(1-t)\vec a+\frac t3\vec b$$
と表せる。面積 $[OAB]=2>0$ なので $\vec a,\vec b$ は平行でなく、係数を比較できる。よって
$$s(1-\alpha)=1-t,\qquad s\alpha=\frac t3.$$
第2式から $t=3s\alpha$。これを第1式に代入すると $s(1+2\alpha)=1$ となるから
$$\boxed{\overrightarrow{OD}=\frac{(1-\alpha)\vec a+\alpha\vec b}{1+2\alpha}}.$$

(3) $\cos\theta=4/5$ かつ $0<\theta<\pi$ より $\sin\theta=3/5$ である。三角形 $OAB$ の面積から
$$2=\frac12|\vec a||\vec b|\sin\theta =\frac12|\vec a|\cdot2\cdot\frac35,$$
従って $|\vec a|=10/3$。また $\angle AOP=\theta/2$ なので $OP$ は $\angle AOB$ の内角二等分線である。角の二等分線の定理より
$$\frac{AP}{PB}=\frac{OA}{OB}=\frac{10/3}{2}=\frac53.$$
一方 $AP/PB=\alpha/(1-\alpha)$ だから
$$\frac{\alpha}{1-\alpha}=\frac53\quad\text{より}\quad\boxed{\alpha=\frac58}.$$

(4) (2)で $\overrightarrow{OD}=s\overrightarrow{OP}$ とおいたとき $s=1/(1+2\alpha)$ である。(3)の $\alpha=5/8$ を代入すると
$$\frac{OD}{OP}=s=\frac{1}{1+2(5/8)}=\frac49.$$
$P$ は $AB$ を $\alpha:(1-\alpha)$ に内分するので、同じ高さをもつ三角形の面積比から
$$[OAP]=\alpha[OAB]=\frac58\cdot2=\frac54.$$
三角形 $OAD$ と $OAP$ は底辺 $OA$ を共有し、頂点 $D,P$ は同じ半直線 $OP$ 上にある。高さの比は $OD/OP=4/9$ だから
$$\boxed{[OAD]=\frac{OD}{OP}[OAP]=\frac49\cdot\frac54=\frac59}.$$