(1) 辺
A B AB A B 上の点を
A + λ ( B − A ) A+\lambda(B-A) A + λ ( B − A ) とおくと、その
x x x 座標は
− 2 + 4 λ -2+4\lambda − 2 + 4 λ である。
− 2 ≦ t ≦ 2 -2\leqq t\leqq2 − 2 ≦ t ≦ 2 に対して
λ = t + 2 4 \lambda=\frac{t+2}{4} λ = 4 t + 2 となるから、
P = ( t , − 3 2 ( t + 2 ) , 0 ) . P=\left(t,-\frac{\sqrt3}{2}(t+2),0\right). P = ( t , − 2 3 ( t + 2 ) , 0 ) . (2) 辺
A C AC A C ,
A D AD A D 上では、それぞれ
A A A からの比を
λ \lambda λ とすると
x = − 2 + λ x=-2+\lambda x = − 2 + λ である。
− 2 ≦ t ≦ − 1 -2\leqq t\leqq-1 − 2 ≦ t ≦ − 1 では
λ = t + 2 \lambda=t+2 λ = t + 2 だから、
Q = A + ( t + 2 ) ( C − A ) = ( t , 3 ( t + 2 ) , 0 ) , R = A + ( t + 2 ) ( D − A ) = ( t , 3 ( t + 2 ) , 3 3 2 ( t + 2 ) ) . Q=A+(t+2)(C-A)=\left(t,\sqrt3(t+2),0\right),\quad R=A+(t+2)(D-A)=\left(t,\sqrt3(t+2),\frac{3\sqrt3}{2}(t+2)\right). Q = A + ( t + 2 ) ( C − A ) = ( t , 3 ( t + 2 ) , 0 ) , R = A + ( t + 2 ) ( D − A ) = ( t , 3 ( t + 2 ) , 2 3 3 ( t + 2 ) ) . (3) 辺
B C BC B C ,
B D BD B D 上で
B B B からの比を
μ \mu μ とすると
x = 2 − 3 μ x=2-3\mu x = 2 − 3 μ である。
− 1 ≦ t ≦ 2 -1\leqq t\leqq2 − 1 ≦ t ≦ 2 では
μ = 2 − t 3 \mu=\frac{2-t}{3} μ = 3 2 − t だから、
Q ′ = B + 2 − t 3 ( C − B ) = ( t , − 3 t , 0 ) , R ′ = B + 2 − t 3 ( D − B ) = ( t , − 3 t , 3 2 ( 2 − t ) ) . Q\prime=B+\frac{2-t}{3}(C-B)=\left(t,-\sqrt3t,0\right),\quad R\prime=B+\frac{2-t}{3}(D-B)=\left(t,-\sqrt3t,\frac{\sqrt3}{2}(2-t)\right). Q ′ = B + 3 2 − t ( C − B ) = ( t , − 3 t , 0 ) , R ′ = B + 3 2 − t ( D − B ) = ( t , − 3 t , 2 3 ( 2 − t ) ) . (4) 平面
x = t x=t x = t での四面体の断面を
y z yz y z 平面上の三角形とみる。これを
x x x 軸のまわりに回すと、断面内で原点からの距離が最小の値から最大の値までの円環（最小値が0なら円板）ができる。
− 2 ≦ t ≦ − 1 -2\leqq t\leqq-1 − 2 ≦ t ≦ − 1 では断面の頂点は
P , Q , R P,Q,R P , Q , R である。線分
P Q PQ P Q は
y y y 軸と交わるので内半径は0であり、
∣ P ∣ 2 = 3 4 ( t + 2 ) 2 , ∣ Q ∣ 2 = 3 ( t + 2 ) 2 , ∣ R ∣ 2 = 39 4 ( t + 2 ) 2 . |P|^2=\frac34(t+2)^2,\quad |Q|^2=3(t+2)^2,\quad |R|^2=\frac{39}{4}(t+2)^2. ∣ P ∣ 2 = 4 3 ( t + 2 ) 2 , ∣ Q ∣ 2 = 3 ( t + 2 ) 2 , ∣ R ∣ 2 = 4 39 ( t + 2 ) 2 . したがって外半径の2乗は
39 4 ( t + 2 ) 2 \frac{39}{4}(t+2)^2 4 39 ( t + 2 ) 2 である。
− 1 ≦ t ≦ 0 -1\leqq t\leqq0 − 1 ≦ t ≦ 0 では頂点は
P , Q ′ , R ′ P,Q\prime,R\prime P , Q ′ , R ′ であり、線分
P Q ′ PQ\prime P Q ′ が原点を含むため内半径は0となる。また
∣ R ′ ∣ 2 − ∣ P ∣ 2 = 3 t ( t − 2 ) ≧ 0 , ∣ R ′ ∣ 2 − ∣ Q ′ ∣ 2 = 3 4 ( 2 − t ) 2 ≧ 0 , |R\prime|^2-|P|^2=3t(t-2)\geqq0,\quad |R\prime|^2-|Q\prime|^2=\frac34(2-t)^2\geqq0, ∣ R ′ ∣ 2 − ∣ P ∣ 2 = 3 t ( t − 2 ) ≧ 0 , ∣ R ′ ∣ 2 − ∣ Q ′ ∣ 2 = 4 3 ( 2 − t ) 2 ≧ 0 , より外半径の2乗は
∣ R ′ ∣ 2 = 15 4 t 2 − 3 t + 3 |R\prime|^2=\frac{15}{4}t^2-3t+3 ∣ R ′ ∣ 2 = 4 15 t 2 − 3 t + 3 である。
0 ≦ t ≦ 2 0\leqq t\leqq2 0 ≦ t ≦ 2 では断面全体で
y ≦ − 3 t y\leqq-\sqrt3t y ≦ − 3 t であり、
Q ′ Q\prime Q ′ は
z = 0 , y = − 3 t z=0,y=-\sqrt3t z = 0 , y = − 3 t にあるので内半径の2乗は
∣ Q ′ ∣ 2 = 3 t 2 |Q\prime|^2=3t^2 ∣ Q ′ ∣ 2 = 3 t 2 である。さらに
∣ P ∣ 2 − ∣ R ′ ∣ 2 = − 3 t ( t − 2 ) ≧ 0 , ∣ P ∣ 2 − ∣ Q ′ ∣ 2 = 3 4 ( 2 − t ) ( 3 t + 2 ) ≧ 0 , |P|^2-|R\prime|^2=-3t(t-2)\geqq0,\quad |P|^2-|Q\prime|^2=\frac34(2-t)(3t+2)\geqq0, ∣ P ∣ 2 − ∣ R ′ ∣ 2 = − 3 t ( t − 2 ) ≧ 0 , ∣ P ∣ 2 − ∣ Q ′ ∣ 2 = 4 3 ( 2 − t ) ( 3 t + 2 ) ≧ 0 , より外半径の2乗は
∣ P ∣ 2 = 3 4 ( t + 2 ) 2 |P|^2=\frac34(t+2)^2 ∣ P ∣ 2 = 4 3 ( t + 2 ) 2 である。以上から回転体の断面積
A ( t ) A(t) A ( t ) は
A ( t ) = { 39 π 4 ( t + 2 ) 2 ( − 2 ≦ t ≦ − 1 ) , π ( 15 4 t 2 − 3 t + 3 ) ( − 1 ≦ t ≦ 0 ) , π ( 3 4 ( t + 2 ) 2 − 3 t 2 ) ( 0 ≦ t ≦ 2 ) . A(t)=\begin{cases}\frac{39\pi}{4}(t+2)^2&(-2\leqq t\leqq-1),\\ \pi\left(\frac{15}{4}t^2-3t+3\right)&(-1\leqq t\leqq0),\\ \pi\left(\frac34(t+2)^2-3t^2\right)&(0\leqq t\leqq2).\end{cases} A ( t ) = ⎩ ⎨ ⎧ 4 39 π ( t + 2 ) 2 π ( 4 15 t 2 − 3 t + 3 ) π ( 4 3 ( t + 2 ) 2 − 3 t 2 ) ( − 2 ≦ t ≦ − 1 ) , ( − 1 ≦ t ≦ 0 ) , ( 0 ≦ t ≦ 2 ) . よって
V = ∫ − 2 2 A ( t ) d t = π ( 39 4 ∫ − 2 − 1 ( t + 2 ) 2 d t + ∫ − 1 0 ( 15 4 t 2 − 3 t + 3 ) d t + ∫ 0 2 ( 3 4 ( t + 2 ) 2 − 3 t 2 ) d t ) = π ( 13 4 + 23 4 + 6 ) = 15 π . \begin{aligned}V&=\int_{-2}^{2}A(t)\,dt\\&=\pi\left(\frac{39}{4}\int_{-2}^{-1}(t+2)^2\,dt+\int_{-1}^{0}\left(\frac{15}{4}t^2-3t+3\right)\,dt+\int_0^2\left(\frac34(t+2)^2-3t^2\right)\,dt\right)\\&=\pi\left(\frac{13}{4}+\frac{23}{4}+6\right)=15\pi.\end{aligned} V = ∫ − 2 2 A ( t ) d t = π ( 4 39 ∫ − 2 − 1 ( t + 2 ) 2 d t + ∫ − 1 0 ( 4 15 t 2 − 3 t + 3 ) d t + ∫ 0 2 ( 4 3 ( t + 2 ) 2 − 3 t 2 ) d t ) = π ( 4 13 + 4 23 + 6 ) = 15 π . V = ∫ − 2 2 A ( t ) d t = π ( 4 39 ∫ − 2 − 1 ( t + 2 ) 2 d t + ∫ − 1 0 ( 4 15 t 2 − 3 t + 3 ) d t + ∫ 0 2 ( 4 3 ( t + 2 ) 2 − 3 t 2 ) d t ) = π ( 4 13 + 4 23 + 6 ) = 15 π . 
白衣のものさし
