1九州大学 2025年 数学 第1問解答・解説

(1)
平面 α の法線ベクトルを $\vec{n}=(p,\,q,\,r)$ とする。$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(-2,\,-2,\,12)$、$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=(0,\,-2,\,8)$ に垂直なので
$$-2p-2q+12r=0,\qquad -2q+8r=0$$
である。第 2 式から $q=4r$、第 1 式から $p=2r$ となる。$r=1$ とすると $\vec{n}=(2,\,4,\,1)$ である。
平面 α は A$(1,\,1,\,-5)$ を通るので、$2x+4y+z=2+4-5=1$、すなわち α は $2x+4y+z=1$ である。B、C もこの式を満たす（$-2-4+7=1$、$2-4+3=1$）。
点 P$(a,\,b,\,t)$ を通り α に垂直な直線は、s を媒介変数として
$$x=a+2s,\quad y=b+4s,\quad z=t+s$$
と表せる。xy 平面との交点は $z=0$ のときなので $s=-t$ である。よって
$$\mathrm{Q}(a-2t,\,b-4t,\,0)$$
となる。

(2)
$\mathrm{OQ}^{2}$ は
$$\mathrm{OQ}^{2}=(a-2t)^{2}+(b-4t)^{2}=20t^{2}-4(a+2b)t+a^{2}+b^{2}$$
である。t について平方完成すると
$$\mathrm{OQ}^{2}=20\left(t-\dfrac{a+2b}{10}\right)^{2}+a^{2}+b^{2}-\dfrac{(a+2b)^{2}}{5}$$
となる。ここで $a^{2}+b^{2}-\dfrac{(a+2b)^{2}}{5}=\dfrac{4a^{2}-4ab+b^{2}}{5}=\dfrac{(2a-b)^{2}}{5}$ なので
$$\mathrm{OQ}^{2}=20\left(t-\dfrac{a+2b}{10}\right)^{2}+\dfrac{(2a-b)^{2}}{5}$$
である。t がすべての実数を動くとき、$t=\dfrac{a+2b}{10}$ で最小となり、$\mathrm{OQ}\geqq 0$ より OQ の最小値は $\dfrac{|2a-b|}{\sqrt{5}}$ である。
この最小値が 1 以下であればよいので、$\dfrac{|2a-b|}{\sqrt{5}}\leqq 1$、両辺に $\sqrt{5}$ を掛けて
$$|2a-b|\leqq\sqrt{5}$$
すなわち $-\sqrt{5}\leqq 2a-b\leqq\sqrt{5}$ が求める条件である。