III日本医科大学 2025年 数学 第III問解答・解説

曲線上の点を媒介変数表示してSの方程式を得る。問4ではyz平面内の半径rで距離を評価し、平方因子分解で等号条件を調べる。

曲線上の点は，実数 $u,v$ を用いてそれぞれ
$$P=(2u^2,u,0),\qquad Q=(2v^2,0,v)$$
と表せる。したがって $\overrightarrow{OR}=\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}$ より，
$$R=(2u^2+2v^2,u,v).$$
ゆえに集合 $S$ は
$$x=2(y^2+z^2)$$
で表される。

問1では $x=k$ とすると $y^2+z^2=\frac{k}{2}$ となる。よって平面 $x=k$ 内で，中心 $(k,0,0)$，半径 $\sqrt{\frac{k}{2}}$ の円である。したがって $\text{ア}=0,\ \text{イ}=0,\ \text{ウ}=\sqrt{\frac{k}{2}}$ である。

問2では，点 $A(1,3,4)$ から $x$ 軸に下ろした垂線の足は $H=(1,0,0)$ だから，
$$AH=\sqrt{(3-0)^2+(4-0)^2}=5.$$
したがって $\text{エ}=5$ である。

問3では，点 $A$ は $x$ 軸のまわりの回転で $x=1$ を保ち，中心 $(1,0,0)$ からの距離 $\sqrt{3^2+4^2}=5$ も保つ。回転後に $xy$ 平面上にあり，$y$ 座標が正である点は $B=(1,5,0)$ である。したがって $(\text{オ},\text{カ},\text{キ})=(1,5,0)$ である。

問4では，$X=(2(y^2+z^2),y,z)$ とおき，$r=\sqrt{y^2+z^2}\ (r\geqq0)$ とする。距離の二乗は
$$|\overrightarrow{AX}|^2=(2r^2-1)^2+(y-3)^2+(z-4)^2.$$
ここで $3y+4z\leqq 5\sqrt{y^2+z^2}=5r$ である。これは
$$25(y^2+z^2)-(3y+4z)^2=(4y-3z)^2\geqq0$$
から従う。したがって
$$(y-3)^2+(z-4)^2=r^2+25-2(3y+4z)\geqq(r-5)^2.$$
等号は $4y-3z=0$ かつ $3y+4z=5r$ のとき，すなわち $(y,z)=\frac r5(3,4)$ のときに成立する。よって，固定した $r$ に対する距離の二乗の最小値は
$$f(r)=(2r^2-1)^2+(r-5)^2=4r^4-3r^2-10r+26$$
である。さらに
$$f(r)-17=4r^4-3r^2-10r+9=(r-1)^2(4r^2+8r+9)=(r-1)^2\{4(r+1)^2+5\}\geqq0.$$
等号は $r=1$ のときに成立する。このとき等号条件から $(y,z)=(\frac35,\frac45)$，また $x=2r^2=2$ である。したがって最小値は $\sqrt{17}$ で，そのときの点は $X=(2,\frac35,\frac45)$ である。代入すると
$$|\overrightarrow{AX}|^2=(2-1)^2+\left(\frac35-3\right)^2+\left(\frac45-4\right)^2=1+\frac{144}{25}+\frac{256}{25}=17,$$
となり，最小値を確認できる。