2久留米大学 2026年 数学 第2問解答・解説

正六角形を座標で表し、直線と各線分の交点を座標範囲で判定した。最後に底辺と高さから面積を求めた。

問題の条件は $0<p<q<1$ である。正六角形の中心と各頂点を結ぶと6個の正三角形ができる。辺の長さは $1$、$\cos60^\circ=\frac12$、$\sin60^\circ=\frac{\sqrt3}{2}$ だから、$A$を原点、辺$AB$を$x$軸の正の向きに取ると座標は
$$\begin{aligned} A&=(0,0),\quad B=(1,0),\quad C=\left(\frac32,\frac{\sqrt3}{2}\right),\\ D&=(1,\sqrt3),\quad E=(0,\sqrt3),\quad F=\left(-\frac12,\frac{\sqrt3}{2}\right) \end{aligned}$$$$A=(0,0),B=(1,0),C=\left(\frac{3}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right),$$$$D=(1,\sqrt{3}),E=(0,\sqrt{3}),F=\left(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$
とおける。内分の比から
$$G=\left(\frac13,0\right),\quad P=\left(\frac{3p}{2},\frac{\sqrt3p}{2}\right),\quad Q=\left(\frac{3q}{2},\frac{\sqrt3q}{2}\right).$$

(1) 直線 $GP$ 上の点の座標を
$$x=\frac13+t\left(\frac{3p}{2}-\frac13\right),\qquad y=\frac{\sqrt3pt}{2}$$
とおく。辺 $EF$ の直線は $y=\sqrt3x+\sqrt3$ である。この直線との交点では
$$\frac{tp}{2}=\frac43+t\left(\frac{3p}{2}-\frac13\right),$$
したがって $p\ne\frac13$ のとき $t=\frac4{1-3p}$、交点の $x$ 座標は
$$x=\frac{5p-1}{1-3p}.$$
$p=\frac13$ では $GP$ の傾きが $\sqrt3$ となり、$EF$ と平行で交わらない。$p>\frac13$ では
$$x+\frac12=\frac{7p-1}{2(1-3p)}<0$$
なので交点は線分 $EF$ より左にある。$0<p<\frac13$ では分母が正であり、線分 $EF$ 上の条件 $-\frac12\leqq x\leqq0$ は
$$p\geqq\frac17,\qquad p\leqq\frac15$$
と同値である。端点では $p=\frac17$ のとき交点は $F$、$p=\frac15$ のとき $E$。よって
$$\begin{aligned} \frac17\leqq p\leqq\frac15,\qquad \text{キ}&=1,\quad \text{ク}=7,\quad \text{ケ}=1,\quad \text{コ}=5. \end{aligned}$$

同様に直線 $GQ$ 上では
$$x=\frac13+t\left(\frac{3q}{2}-\frac13\right),\qquad y=\frac{\sqrt3qt}{2}.$$
辺 $DE$ は $y=\sqrt3$ なので交点で $t=\frac2q$、$x=\frac{10q-2}{3q}$。$q>0$ であり、線分 $DE$ 上の条件 $0\leqq x\leqq1$ は
$$\begin{aligned} q&\geqq\frac15,\qquad q\leqq\frac27,\\ \text{サ}&=1,\quad \text{シ}=5,\quad \text{ス}=2,\quad \text{セ}=7 \end{aligned}$$$$q\geqq \frac{1}{5},q\leqq \frac{2}{7},$$$$\text{サ}=1,\text{シ}=5,\text{ス}=2,\text{セ}=7$$
となる。端点はそれぞれ $E,D$ であり、線分の端点を含むので等号も含む。二つの条件を同時に満たす場合も $p<q$ は保たれる。

(2) $AC=\sqrt3$ で、$P,Q$ はともに $AC$ 上にあるから $PQ=\sqrt3(q-p)$。直線 $AC$ の式は $y=x/\sqrt3$、すなわち $x-\sqrt3y=0$ である。点 $G=(\frac13,0)$ から $AC$ までの距離は
$$\frac{|\,\frac13-\sqrt3\cdot0\,|}{\sqrt{1+3}}=\frac16.$$
したがって
$$\begin{aligned} [GPQ]&=\frac12\cdot PQ\cdot\frac16\\ &=\frac12\cdot\sqrt3(q-p)\cdot\frac16\\ &=\frac{\sqrt3}{12}(q-p). \end{aligned}$$$$[GPQ]=\frac{1}{2}\cdot PQ\cdot \frac{1}{6}$$$$=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{3}(q-p)\cdot \frac{1}{6}$$$$=\frac{\sqrt{3}}{12}(q-p).$$
よって
$$\begin{aligned} \text{ソ}&=3,\quad \text{タ}=1,\quad \text{チ}=2. \end{aligned}$$