3近畿大学 2023年 数学 第3問解答・解説

(1) は対角線 $\mathrm{AC}$ を三角形 $\mathrm{ABC}$ と $\mathrm{ADC}$ の余弦定理で 2 通りに表す。(2) は面積を三角形 $\mathrm{ABC}$ と $\mathrm{ADC}$ に分け、それぞれの面積の最大が同時に起こるかを確かめる。

(1)

(i) 三角形 $\mathrm{ABC}$ で余弦定理より $\mathrm{AC}^{2}=1+4-2\cdot 1\cdot 2\cos 150^{\circ}=5+2\sqrt{3}$。三角形 $\mathrm{ADC}$ で
$$\cos\angle\mathrm{ADC}=\dfrac{2+3-(5+2\sqrt{3})}{2\cdot\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}}=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}$$
だから $\angle\mathrm{ADC}=135^{\circ}$。

(ii) $\angle\mathrm{BAD}=\alpha$ とおくと、$\angle\mathrm{BCD}=360^{\circ}-150^{\circ}-135^{\circ}-\alpha=75^{\circ}-\alpha$ で、$0^{\circ}<\alpha<75^{\circ}$。三角形 $\mathrm{ABD}$、$\mathrm{CBD}$ で余弦定理より
$$\mathrm{BD}^{2}=3-2\sqrt{2}\cos\alpha=7-4\sqrt{3}\cos(75^{\circ}-\alpha).$$
$\alpha$ が増えると左の式は増加し、右の式は減少するから、これを満たす $\alpha$ はただ 1 つである。$\alpha=45^{\circ}$ のとき、左は $3-2=1$、右は $7-4\sqrt{3}\cos 30^{\circ}=1$ で等しいから、$\angle\mathrm{BAD}=45^{\circ}$。

(iii) (ii) より $\mathrm{BD}^{2}=1$、$\mathrm{BD}=1$。

(iv) 三角形 $\mathrm{ABD}$ は $\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{BD}^{2}=2=\mathrm{AD}^{2}$ より $\angle\mathrm{ABD}=90^{\circ}$、三角形 $\mathrm{BCD}$ は $\mathrm{BD}^{2}+\mathrm{CD}^{2}=4=\mathrm{BC}^{2}$ より $\angle\mathrm{BDC}=90^{\circ}$ の直角三角形である。よって面積は
$$\dfrac{1}{2}\cdot 1\cdot 1+\dfrac{1}{2}\cdot 1\cdot\sqrt{3}=\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}.$$

(2)

$\angle\mathrm{ABC}=\beta$、$\angle\mathrm{ADC}=\delta$ とおくと、面積は
$$\triangle\mathrm{ABC}+\triangle\mathrm{ADC}=\dfrac{1}{2}\cdot 1\cdot 2\sin\beta+\dfrac{1}{2}\cdot\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}\sin\delta=\sin\beta+\dfrac{\sqrt{6}}{2}\sin\delta\leqq 1+\dfrac{\sqrt{6}}{2}.$$
等号は $\beta=\delta=90^{\circ}$ のときである。このとき $\mathrm{AC}^{2}=1^{2}+2^{2}=5$、$\mathrm{AC}^{2}=(\sqrt{2})^{2}+(\sqrt{3})^{2}=5$ で一致するから、長さ $\sqrt{5}$ の線分 $\mathrm{AC}$ の両側に、$\mathrm{AC}$ を斜辺とする直角三角形 $\mathrm{ABC}$、$\mathrm{ADC}$ をつくれば、どの内角も $180^{\circ}$ より小さい四角形になる。

よって、面積の最大値は $1+\dfrac{\sqrt{6}}{2}$、そのとき $\mathrm{AC}=\sqrt{5}$ である。