3久留米大学 2026年 数学 第3問解答・解説

座標平面上に、放物線 $y=-x^2$ がある。この放物線上に、点 $A(a,-a^2)$、$B(a+p,-(a+p)^2)$ をとる（$p>0$）。さらに、点 $C$ を三角形 $ABC$ が正三角形となるようにとる。ただし、頂点 $C$ は辺 $AB$ に対して反時計回りの位置にあるとする。

(1) 点 $C$ の座標は
$$\left(a+\frac{\boxed{\text{ツ}}}{\boxed{\text{テ}}}p\left(\boxed{\text{ト}}\sqrt{\boxed{\text{ナ}}}a+\sqrt{\boxed{\text{ニ}}}p+\boxed{\text{ヌ}}\right),\ -a^2+\frac{\boxed{\text{ネ}}}{\boxed{\text{ノ}}}p\left(-\boxed{\text{ハ}}a-p+\sqrt{\boxed{\text{ヒ}}}\right)\right)$$
である。

(2) $p=\sqrt{3}$ とする。$a$ がすべての実数をとるように変化するとき、点 $C$ の軌跡は
$$y=-\frac{\boxed{\text{フ}}}{\boxed{\text{ヘホ}}}x^2+\frac{\boxed{\text{マ}}}{\boxed{\text{ミ}}}$$
である。

(3) $a$ を負の定数とする。$p$ がすべての正の実数をとるように変化するとき、点 $C$ の $y$ 座標は $p=\dfrac{\sqrt{\boxed{\text{ム}}}}{\boxed{\text{メ}}}-a$ のとき、最大値
$$\frac{\left(\sqrt{\boxed{\text{モ}}}-\boxed{\text{ヤ}}a\right)^2}{\boxed{\text{ユ}}}-a^2$$
をとる。したがって、$a$ がすべての負の実数をとるように変化するとき、点 $C$ の $y$ 座標の最大値は $\dfrac{\boxed{\text{ヨ}}}{\boxed{\text{ラ}}}$ であり、そのとき $a=-\dfrac{\sqrt{\boxed{\text{リ}}}}{\boxed{\text{ル}}},\ p=\sqrt{\boxed{\text{レ}}}$ である。