IV日本医科大学 2026年 数学 第IV問解答・解説

$a$ を正の定数とする。区間 $0\leqq x<a$ で定義された関数 $f(x)$ は微分可能であり、以下の3条件を満たすとする。
　 (i) 実数 $t$ は $0\leqq t<a$ を満たすとする。$O$ を原点とする $xy$ 平面上の曲線 $C:y=f(x)$ の区間 $0\leqq x\leqq t$ における長さが
$$a\log\left(\frac{a+t}{a-t}\right)-t$$
に等しい。
　 (ii) $f'(x)\leqq0$（ただし、$0\leqq x<a$）。
　 (iii) $f\left(\frac{a}{2}\right)=0$。
　 問1 関数 $f(x)$ を求め、$y=f(x)$ のグラフの概形をかけ。凹凸も調べよ。
　 問2 $a$ は $0<a<1$ を満たすとする。曲線 $C$ と $x$ 軸および $y$ 軸によって囲まれた部分の面積を $S_1(a)$ とする。$C$ 上の点 $P\left(\frac{a}{2},0\right)$ における接線を $L$ とし、$L$ と $y$ 軸との交点を $Q$ とする。線分 $PQ$ を $(2-a):(1+a)$ に内分する点を $R$ とし、三角形 $OPR$ の面積を $S_2(a)$ とするとき、$S_1(a)$ と $S_2(a)$ の大小関係を調べよ。必要ならば、
$$1.09<\log 3<1.10$$
であることは用いてよい。