4金沢大学 2024年 数学 第4問解答・解説

$n$ を自然数とする。3辺の長さが $\sqrt{a_{n}}$、$\sqrt{a_{n+1}}$、$\sqrt{a_{n+1}}$ である二等辺三角形の面積が $\dfrac{\sqrt{3}}{4}$ となる数列 $\{a_{n}\}$ を考える。次の問いに答えよ。

(1) 3辺の長さが $\sqrt{a}$、$\sqrt{b}$、$\sqrt{b}$ である二等辺三角形の面積を求めよ。

(2) 漸化式 $a_{n+1}=\dfrac{1}{4}\left(a_{n}+\dfrac{3}{a_{n}}\right)$ を示せ。また、$a_{n+1}\geqq\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ であることを示せ。

(3) 等式 $a_{n+1}-1=\dfrac{a_{n}-3}{4a_{n}}(a_{n}-1)$ を示せ。

(4) $|a_{1}-1|\leqq\dfrac{1}{4}$ とする。このとき、すべての $n$ について、$|a_{n+1}-1|\leqq\dfrac{3}{4}|a_{n}-1|$ が成り立つことを示し、極限 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_{n}$ を求めよ。