1久留米大学 2026年 数学 第1問解答・解説

$AB=c,\ AC=b\ (c>b)$ である三角形 $ABC$ がある。$\angle A$ の2等分線と辺 $BC$ の交点を $D$ とし、$\angle DAC=\theta$ とするとき、以下の問いに答えよ。
ただし、$\boxed{\text{ア}}\sim\boxed{\text{カ}}$ には、次の選択肢から適当なものを選んで番号で答えよ。同じ番号を何回選んでもよい。$$\text{① }b\quad \text{② }c\quad \text{③ }b+c\quad \text{④ }b-c\quad \text{⑤ }c-b\quad \text{⑥ }bc$$
また、$\boxed{\text{あ}},\boxed{\text{い}}$ には、次の選択肢から適当なものを選んで番号で答えよ。同じ番号を何回選んでもよい。$$\text{① }\cos\theta\quad \text{② }\cos^2\theta\quad \text{③ }\cos^3\theta\quad \text{④ }\cos^4\theta\quad \text{⑤ }\cos^5\theta$$

(1) $AD=\dfrac{2\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}\boxed{\text{あ}}$ である。

(2) $AD$ を直径とする円 $O$ を考える。円 $O$ が辺 $AB$ 上および $AC$ 上でそれぞれ交点をもつ（ただし端点を除く）のは、$\sqrt{\dfrac{\boxed{\text{ウ}}}{2\boxed{\text{エ}}}}<\sin\theta<1$ のときである。このとき、その交点をそれぞれ $E,F$ とする。三角形 $AEF$ の面積を $S$ とすると、
$$S=\left(\dfrac{2\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}\right)^2\sin\theta\boxed{\text{い}}$$
である。