4大阪公立大学 2026年 数学 第4問解答・解説

問1
$$\begin{aligned} \frac{1}{\sin^2(\theta/2)}+\frac{1}{\sin^2(\theta/2+\pi/2)} &=\frac{1}{\sin^2(\theta/2)}+\frac{1}{\cos^2(\theta/2)}\\ &=\frac{\sin^2(\theta/2)+\cos^2(\theta/2)}{\sin^2(\theta/2)\cos^2(\theta/2)} =\frac{1}{\{\sin(\theta/2)\cos(\theta/2)\}^2} =\frac{4}{\sin^2\theta}. \end{aligned}$$$$\frac{1}{{\sin }^2(\theta /2)}+\frac{1}{{\sin }^2(\theta /2+\pi /2)}=\frac{1}{{\sin }^2(\theta /2)}+\frac{1}{{\cos }^2(\theta /2)}$$$$=\frac{{\sin }^2(\theta /2)+{\cos }^2(\theta /2)}{{\sin }^2(\theta /2){\cos }^2(\theta /2)}=\frac{1}{\{\sin (\theta /2)\cos (\theta /2){\}}^2}=\frac{4}{{\sin }^2\theta }.$$

問2
問1に $\theta_k=\dfrac{(2k-1)\pi}{2^{n+1}}$ を代入し、$k=1,\,2,\,\cdots,\,2^n$ について足す。左辺は $4S_n$ であり、右辺の二つの和は、分母が $2^{n+2}$ の正弦の奇数番目の項を前半と後半に分けたものなので、合わせて $S_{n+1}$ となる。したがって
$$S_{n+1}=4S_n.$$
また $S_1=\dfrac{1}{\sin^2\frac{\pi}{4}}+\dfrac{1}{\sin^2\frac{3\pi}{4}}=4$ である。よって
$$\boxed{S_n=4^n}.$$

問3
$$U_n=\sum_{k=1}^{2^{n-1}}\frac{1}{\sin^2\left(\frac{2k-1}{2^{n+1}}\pi\right)}$$
とおく。$S_n$ の角は $\pi$ に関して対称で、$\sin(\pi-\theta)=\sin\theta$ だから $U_n=S_n/2=4^n/2$ である。ここで $\theta_k=(2k-1)\pi/2^{n+1}$ とおくと、$1\leqq k\leqq 2^{n-1}$ では $0<\theta_k<\pi/2$ であり、与えられた不等式を足し合わせて
$$U_n-2^{n-1}<\sum_{k=1}^{2^{n-1}}\frac{1}{\theta_k^2}<U_n$$
を得る。一方
$$\sum_{k=1}^{2^{n-1}}\frac{1}{\theta_k^2}=\frac{2^{2n+2}}{\pi^2}T_n=\frac{4^{n+1}}{\pi^2}T_n.$$
したがって
$$\pi^2\left(\frac18-\frac{1}{2^{n+3}}\right)<T_n<\frac{\pi^2}{8}.$$
両端は $n\to\infty$ でともに $\pi^2/8$ に収束するので、はさみうちの原理より
$$\boxed{\displaystyle\lim_{n\to\infty}T_n=\frac{\pi^2}{8}}.$$