2富山大学 2026年 数学 第2問解答・解説

$n$ を正の整数とし、各 $n$ に対して、次を満たす連続関数 $f_{n}(x)$ $(0\leqq x\leqq \pi)$ を考える。
$$f_{n}(x)= \begin{cases} \alpha_{n} & (x=0)\\ \dfrac{\sin nx}{\sin x} & (0<x<\pi)\\ \beta_{n} & (x=\pi) \end{cases}$$
また、$I_{n}$、$J_{n}$ を次で定める。
$$I_{n}=\displaystyle\int_{0}^{\pi} f_{n}(x)\,dx$$
$$J_{n}=\displaystyle\int_{0}^{\pi} \{f_{n}(x)\}^{2}\,dx$$

(1) $\alpha_{n}$、$\beta_{n}$ をそれぞれ $n$ を用いて表せ。

(2) すべての $n$ について、$I_{n+2}-I_{n}=0$ が成り立つことを示せ。

(3) $J_{n+1}-J_{n}$ を求めよ。

(4) $J_{n}$ を $n$ を用いて表せ。