3東京慈恵会医科大学 2026年 数学 第3問解答・解説

漸化式をpの倍数になる前後に分けて明示し、比が偶数整数となる条件を素数pの約数で判定する。

$p$ は3以上の素数である。$1\leqq n<p$ の間は $a_n=n$ であり、$a_p=p$ となる。$a_p$ は $p$ の倍数なので、その後は公差 $p$ で増加し、$n\geqq p$ では $a_n=p(n-p+1)$ である。
したがって $1\leqq n<p$ では $\frac{a_{n+p}}{a_n}=\frac{p(n+1)}{n}=p+\frac pn$、また $n\geqq p$ では $k=n-p+1$ とおいて $\frac{a_{n+p}}{a_n}=1+\frac pk$ となる。
$\cos(\pi r)\leqq1$ であり、等号は $r$ が偶数整数のときに限る。前者の比が整数となるには $p$ は $n$ で割り切れるが必要で、$n<p$ より $n=1$ のみ。このとき比は $2p$ で偶数である。後者では $p$ は $k$ で割り切れるが必要なので $k=1$ または $k=p$。それぞれ比は $p+1$ と $2$ で、ともに偶数である。対応する $n$ は $p$ と $2p-1$ だから、最大値1をとる $n$ は $1,p,2p-1$。